Au moment où le cortège des unités à pied s’apprête à défiler de la place Charles de Gaulle-Etoile à la place de la Concorde, quatre amis A1,A2,A3 et A4 placés sur la ligne de départ, les deux ...
Problème proposé par Dominique Roux Je remplis un tableau avec des progressions arithmétiques écrites ad infinitum les unes en dessous des autres. La kième progression (k = 1,2,3,.....) a pour premier ...
Trouver les entiers à n chiffres (n > 2) de la forme avec les chiffres a,b,c,d,…et g non nuls mais pas nécessairement différents entre eux tels qu’en intercalant le même nombre k de zéros entre a ...
A la sortie du collège à midi, Zig et ses camarades décident de se rendre au Salon des Récréations Mathématiques. Estimées de première nécessité, elles échappent par bonheur au sinistre confinement. ...
Problème proposé par Michel Lafond Q1 Trouver un couple d'entiers x et y > 0 tels que xx divise yy mais x ne divise pas y Q2 Démontrer qu'il existe une infinité de couples d’entiers x et y > 0 ...
Quatre chiffres a,b,c,d de cet entier à huit chiffres N = a12bc42d ont été effacés. Cet entier N est divisible par 5544. Déterminer le quotient N/5544.
Maurice Bauval,Raymond Bloch,Daniel Collignon,Maxime ...
Problème proposé par Augustin Genoud (mention au prix Affaire de Logique 2022) Quand Jules cueille des pommes, le temps qu’il va passer pour remplir un cageot est inversement proportionnel au nombre ...
Le classique parmi les classiques :avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, ...
Dans chacune de ces deux suites,on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le kième terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ième terme du ...
Placer tous les entiers de 1 à 14 le long de la circonférence d’un cercle de sorte que la somme et la différence (positive) de deux nombres adjacents quelconques soient l’une et l’autre des nombres ...
Méphisto invite Zig à jouer une variante du bonneteau avec trois pièces de monnaie. La première en bronze a le chiffre 5 sur le côté « pile » et le chiffre 1 sur le côté « face ». La deuxième en argent ...
On détermine respectivement le plus grand entier naturel n1 puis le plus petit entier naturel n2 en supprimant 100 chiffres dans l’entier N obtenu par concaténation des entiers naturels 1,2,3, ... ...
Que je lance m dés à 6 faces ou n dés à 6 faces avec 1 ≤ m < n ≤ 8, je constate que j'ai la même probabilité p d'obtenir une certaine somme S des numéros des dés. Déterminer m,n,S et p.
Par ordre ...
Enigme (littérale) proposée par Olivier Picut A partir de l’équation y = Ln(x/m – sa)/r² avec la variable x, les paramètres a,m,r,s qui sont des entiers > 0, Ln(..) = logatithme népérien, dont ...
Dans un triangle ABC la bissectrice AD, la médiane BM et la hauteur CH sont concourantes. Le sinus de l’angle en A est l’inverse du nombre d’or. Que vaut l’angle ACB ?
Patrick Gordon a résolu ...
Q1 : Démontrer qu’il est possible de découper avec une règle et une paire de ciseaux un rectangle de dimensions 3 carreaux x 30 carreaux en 7 morceaux et de reconstituer un carré avec ces morceaux (sans ...
10ième épisode Soit un triangle ABC. Le cercle passant par B et tangent en A au côté AC coupe le cercle passant par C et tangent en A au côté AB en un deuxième point d'intersection D autre que A. ...
Les bissectrices d’un triangle équilatéral ABC se rencontrent en O. OB coupe AC en D. Les bissectrices des BAO et CAO coupent respectivement BO en E et CO en F. La bissectrice de l’angle ACO coupe ...
Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution. Posé sur un table, il peut contenir selon la figure ci-contre: - soit une balle de ping-pong qui est tangente à sa paroi latérale et au plan ...
Dans une pyramide à base rectangulaire ABCD, de sommet S, on a mesuré les arêtes SA=90 mètres, SB=70 mètres, SC=20 mètres. Quelle est la longueur SD ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge ...
Ce produit de la gastronomie italienne a la forme d'un cylindre de rayon z et d'épaisseur a. Quel est son volume ? Problème proposé par Christian Romon, paru dans la Jaune et la Rouge d'août-septembre ...
Question n°1:
Trouver tous les entiers à 2 chiffres ou plus inférieurs à 108 qui sont de la forme N = tel que N est la somme
des puissances croissantes de ses chiffres : N = a + b2 + c3 ...
Les trois statisticiens en chef des trois îles Alpha, Bêta et Gamma ont une querelle de chiffres. Ils affichent pour la population de leurs îles respectives le même nombre de la forme
avec p>0 ...
Quel est le plus grand entier N dont les chiffres sont tous différents et qui est divisible par chacun d'eux ?
Jean Moreau de Saint Martin , Pierre Henri Palmade et Fabien Gigante ont résolu ...
Trois ouvriers A,B,C sont au sommet d'un immeuble en construction. Il n'y a pas d'escalier pour redescendre et ils ne disposent que d'un monte-charge rudimentaire formé de deux paniers reliés par ...
Ma calculette donne tan(89°) = 57,28996163 puis tan(89,9°) = 572,9572134 puis tan(89,99°) = 5729,577893 .... Chaque fois que j'ajoute une (k+1)-ième décimale 9 à l'angle 89,99...9° dont les k décimales ...
Diophante veut acheter deux poissons pour son nouvel aquarium. Le vendeur lui dit que s'il tire au hasard deux poissons dans son vivier, la probabilité pour qu'il y ait un mâle et une femelle est rigoureusement ...
Deux problèmes classiques à la recherche de faux jumeaux :
- Trouver deux dés dont les six faces parfaitement équilibrées comportent des numéros strictement positifs autres que la série 1,2,3,4,5,6 ...
A. Vendredis 13
Quel est le nombre maximum de vendredi 13 dans une année ? Au cours de l'année où le maximum de vendredis 13 est atteint, quels sont les mois concernés ? Quelles sont les années du ...
Diophante écrit 2005 fois le chiffre 1 les uns à la suite des autres sur une même ligne. Hippolyte et Théophile à tour de rôle remplacent soit un chiffre 1 par le chiffre 0 soit deux chiffres 1 adjacents ...
Hippatie a l'habitude d'aller dans un salon de coiffure où trois coiffeuses opèrent avec plus ou moins de talent. L'une d'entre elles fait des prouesses, la seconde travaille dans la norme et la dernière ...
Diophante tend à Pierre un papier sur lequel figure un nombre qui est le produit des âges de ses deux nièces et à Sébastien un autre papier sur lequel figure la somme de ces âges.
Diophante : Devinez ...
Le concierge de l'immeuble où habite Diophante a trois filles. Il s'adresse à Diophante en lui précisant que le produit de leurs âges est égal à 36 et la somme est égale au numéro de l'immeuble qu'ils ...
Sachant que :
,xn+3 = xn+2(xn+1 + xn)
x0 est un entier ,
x1 et x2 sont des entiers >0 ,
x8 = 1152,
que vaut x10 ?
E110-solution
Quels sont les nombres de la série ci-après qui sont remplacés par A et B: A, 1, 2, 5, 12, 28 ,65, 151, 351, B E101-solution
Construire à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas un triangle ABC dont on connaît le centre du cercle des neuf points, le centre du cercle circonscrit et le milieu d'un côté. D612-solution ...
Une droite D est tracée sur une feuille de papier ainsi qu'un point P de cette droite. On dispose d'une règle non graduée et d'un compas rouillé dont l'ouverture est constante. Déterminer la perpendiculaire ...
Est-il possible de découper un rectangle de longueur 13 unités et de largeur 7 unités en 15 rectangles tous différents entre eux et dont les côtés sont des nombres entiers? Même question avec le découpage ...
La figure ci-après est réalisée par la juxtaposition de carrés de façon à former un rectangle. Sachant que les dimensions des carrés sont toutes différentes, quelles sont les dimensions de ces carrés ...
Diophante a acheté un pré en forme de triangle équilatéral de côté a. Il désire le partager en n triangles équilatéraux. Le partage est-il possible quelque soit n supérieur ou égal à 2 ? Donner les ...
Un objet est représenté ci-après avec ses trois vues de dessus, de face et de côté. La vue de face est une demi-ellipse dont le grand axe est égal à 2OA = et le petit axe est égal à 2. La vue de dessus ...
D'après une proposition de Robert Ferréol.
Après avoir tronqué à la scie quatre tétraèdres en bois, Diophante en fait la représentation graphique suivante. Trouver l'intrus.
Indication : ...
Pour aller camper sur les bords du Nil, Diophante s'est équipé d'une tente montée sur trois tiges AB, AC et AD qui ont respectivement pour longueurs 210 cm, 315 cm et 105 cm. Les trois tiges reposent ...
Pour l'anniversaire d'Hippolyte, Diophante et son amie Hypatie ont préparé un empilement de boîtes cubiques dont les arêtes vont en diminuant selon la série 1, 1/ , 1 /, 1 / , ....1 / ,... jusqu'à ...
On perce un trou cylindrique de 6 cm de long à travers une sphère, l'axe du cylindre passant par le centre de la sphère. Quel est le volume restant ? D301-solution
A partir de cette très belle mosaïque
conçue par Kurschak, trouver une méthode simple pour calculer la
surface du dodécagone abcdefghijkl inscrit dans un cercle de rayon
unité.
Soit ...
Cette figure qui a la forme d'un sapin bleu qu'on aurait élagué en son milieu est faite avec 7 allumettes de longueur unité de telle sorte que les points A, B, F et D d'une part et A, G, C et E ...
Démontrer qu'il existe un hexagone « équiangle » (c'est à dire dont les angles des six sommets sont égaux entre eux) et dont les côtés valent 5, 8, 11, 14, 23 et 29 pris dans un certain ordre. D215-solution ...
Soit un triangle équilatéral ABC de côté 1.Quelle est la longueur minimale du segment dont les extrémités coulissent sur les côtés du triangle et qui peut balayer la totalité de l'aire intérieure au ...
Diophante a deux champs qui bordent le même chemin, ont un sommet commun B et ont la forme de deux triangles isocèles semblables DAB et EBC comme le montre la figure ci-après. La surface du champ ...
On trace deux cercles (Ca) et (Cb) de centres A et B, de rayons distincts et extérieurs l'un à l'autre. Le cercle de diamètre AB coupe le cercle (Cb) aux points C et D et le cercle (Ca) aux points ...
On considère le triangle isocèle ABC (AB = AC) dont l'angle BAC est égal à 20°. D est un point de AC tel que AD = BC. Que vaut l'angle DBC ?
Trouver le minimum de points sur ou dans le triangle ...
Diophante est le buteur attitré de son équipe de rugby. Celle-ci vient de marquer un essai juste dans le prolongement de la ligne de touche (axe Oy sur le graphique ci-après) et pour transformer cet ...
Trouver 4 points sur un cercle tels que les 6 distances entre ces points soient des entiers distincts. Source Les Reid - Problem Corner - South West Missouri University D109-solution.pdf ...
Un carré PQRS est inscrit dans un triangle ABC, P étant situé sur le côté AB de longueur 6, Q sur le côté AC et RS reposant sur la base BC. Le carré occupe les 4/9èmes de la surface du triangle. ...
Il s'agit de deux très vieux problèmes qu'il convient de résoudre par la géométrie sans faire appel à des formules trigonométriques ou à la résolution d'équations : - un point P à l'intérieur d'un ...
Soit ABC un triangle dont les trois angles sont aigus. Où placer trois points A', B' et C' sur les côtés BC, AC et AB de telle sorte que le périmètre du triangle A'B'C' soit minimal ? D104-solution.pdf ...
Une chèvre est attachée à un piquet planté sur la circonférence d'un pré circulaire. On souhaite que la chèvre puisse brouter la moitié du pré. Donner une construction simple permettant d'avoir une ...
Trouver deux carrés magiques (3x3) et (4x4) tels que chacun des termes est une fraction égyptienne (de la forme 1/a avec a entier) et tels que les sommes des termes en ligne, en colonne et selon les ...
Placer les nombres de 1 à 14 sur les 4 sommets, les 4 faces et les 6 arêtes d'un tétraèdre de sorte que le nombre sur chaque arête soit en même temps la moyenne arithmétique de ceux situés sur les ...
J'ai laissé sur l'écran de ma calculette scientifique (censée marcher !) un nombre entier à 10 chiffres avec la mention DEG (1). Mon petit-fils de 3 ans appuie sur une même touche active (2) plusieurs ...
A Alexandrie, un marchand de légumes avait décidé d'augmenter ses bénéfices en truquant sa balance. L'un des fléaux avait été raccourci et c'est de ce côté qu'il plaçait les poids.
Diophante qui ...
Quatre enfants Anastase, Bonaventure, Cyprien et Donat ont respectivement 13, 14, 15 et 18 agates dans leurs poches. Ils s'apprêtent à jouer une partie de billes quand Eloi se joint à eux. Il n'a pas ...
On dispose de 101 poids en cuivre marqués de1 gramme, 2 grammes, 3 grammes jusqu'à 101 grammes. On perd la masse marquée de 19 grammes. Est-il possible de partager l'ensemble des 100 poids restants ...
Problème n°1
Trouver les plus petits carrés parfaits dont la représentation en base 10 commence et finit par 4 fois le chiffre 4.
Problème n°2
Trouver deux entiers de 8 chiffres tels que ...
Dans un triangle ABC, les tangentes des angles au sommet tg(A), tg(B) et tg(C) sont des nombres entiers positifs. Combien y a-t-il de triangles de cette nature ? Source : Tournoi des ...
On peint un certain nombre de faces d'un cube. On le découpe en N3 petits cubes et l'on observe que parmi eux 217 sont peints. Que vaut N ? Combien de faces ont été peintes ?
A451-solution ...
Un parallélépipède dont les longueurs des côtés sont des entiers a,b et c (exprimés en cm) est peint sur toutes ses faces. On le découpe en abc cubes de 1 cm3 chacun. On constate que la moitié exactement ...
Trouver tous les quadrilatères inscriptibles dans un cercle dont les côtés sont des nombres entiers et dont la surface est égale au périmètre. A431-solution
Un quadrilatère a pour périmètre 20 cm. Par ailleurs les côtés de ce quadrilatère sont des nombres entiers de cm tous différents. Quelle est la plus grande aire possible de ce quadrilatère ? ...
Quelles sont les dimensions entières a et b (a>b) du pré rectangulaire ABCD le plus petit par sa surface tel que Diophante puisse installer le piquet de sa chèvre à l'intérieur du pré à des distances ...
1) Trouver les solutions positives entières en x, y, z de l'équation :
2) Même question avec l'équation :
Source : Les Reid - Problem Corner - South West Missouri University ...
Les nombres entiers engendrent en général des palindromes par le procédé suivant. On ajoute à un nombre N le nombre miroir M(N) obtenu en écrivant N de droite à gauche. Par exemple M(157)=751. Si ...
Un nombre N est dit automorphe si son carré N2 se termine par N. Par exemple 25 est automorphe car 252= 625 se termine par 25 mais 36 ne l'est pas car 362 = 1296 ne se termine par 36 mais par 96. ...
Un nombre narcissique d'ordre k est égal à la somme des puissances kièmes de ses chiffres, comme par exemple: 153 = 13 + 53 + 33. Si par ailleurs, l'ordre du nombre narcissique est égal à son nombre ...
C’est l’anniversaire de Diophante. Il y a un gâteau mais pas de bougies. Si j’avais, dit-il, un an de plus que le double de l’âge que j’aurais eu si je n’avais eu que le tiers de l’âge que j’aurais ...
Si X + Y = 1 et X2 + Y2 = 2, qu'en est-il de X3 + Y3 ?
Si X + Y + Z = 1, X2 + Y2 + Z2 = 2 et X3 + Y3 + Z3 = 3, qu'en est-il de X4 + Y4 + Z4 ?
Source : Les Reid - Problem Corner ...
Quelles sont les solutions (si elles existent) de l’équation dans laquelle l’expression désigne la valeur absolue de x , x appartenant à ] - ∞, + ∞ [ ?
A209-solution.pdf
On considère la fonction f définie sur l’ensemble des entiers positifs N et à valeurs dans N et caractérisée par :
- f(2) = 2
- ...
Les nombres de Fibonacci définis par la séquence un = un-1 + un-2 sont 1,1,2,3,5,8,13,21,…. avec u1= 1 et u2 = 1
On considère l’addition ci-après dans laquelle la n-ième nombre décimal de ...
Pour fêter son prochain bicentenaire, la société de la Tour Eiffel envisage d’installer un immense ruban qui ferait le tour la Terre et passerait par le sommet de la Tour situé à 325 mètres d’altitude ...
Un ensemble E contient 2005 nombres entiers relatifs. A chaque élément de E, on associe la somme de tous les autres éléments de E et on obtient un ensemble F constitué lui aussi de 2005 nombres entiers ...
Quelle est la particularité de la fonction pour tout x appartenant à l’intervalle ouvert ]1,2[ ?
A266-solution
On considère la suite définie par an = an-1 - an-2 . La somme des 777 premiers termes a1,a2,...,a777 est égale à 4004. Celle des 1111 premiers termes est égale à 1998. Que vaut la somme des 2006 premiers ...
Diophante joue une partie de bridge. Placé en Sud, il distribue les 52 cartes dans l'ordre Ouest, Nord, Est, Sud, etc... En cours de distribution, il laisse échapper une partie des cartes qu'il a dans ...
2006 nombres entiers sont écrits sur une ligne. Chaque nombre sauf le premier et le dernier est égal à la somme de ses deux voisins. Sachant que le deuxième nombre vaut 1, trouver le (petit) dernier ...
Est-il possible de trouver 2006 nombres entiers qui sont des carrés parfaits tous distincts et dont la somme est aussi un carré parfait ?
A174-2006_carrés_parfaits-solution
Trouver trois entiers consécutifs les plus petits possibles qui sont respectivement les multiples du carré, du cube et de la puissance quatrième de trois nombres premiers. Source : Compétition mathématique ...
Exercice 1
Quel est le plus grand commun diviseur commun (PGCD) de n2 + 1 et de (n+1)2 + 1 quand n prend toutes les valeurs entières 1,2,3,... ad infinitum
Exercice 2
Quels sont les ...
On soumet la question suivante à 1000 personnes réunies dans un amphithéâtre : Votre boisson préférée est-elle : 1) l'eau ? 2) le vin ? 3) la bière ? 4) les jus de fruits ? 5) une autre ...
Je dispose de trois codes d'accès Internet qui sont trois entiers abcdef à 6 chiffres compris entre 100000 et 999999. Pour les garder en mémoire, je décide de les crypter de manière très simple en inscrivant ...
Un entier N a six chiffres tous différents entre eux et différents de zéro. Il est divisible par 37. Prouver qu'il existe au moins 23 nombres qui ont les mêmes chiffres et sont aussi divisibles par ...
Diophante soumet ce nombre N de 46 chiffres à Théophile : 1063829787234042553191489361702127659574468085. Il lui suggère de le multiplier par 2 puis par 3 puis par 4 etc... Théophile commence à ...
J'écris les entiers naturels de 1 à 12 sur une feuille. J'efface deux entiers a et b de la liste que je remplace par a + b + ab et je poursuis cette opération jusqu'à ce qu'il reste un seul nombre. ...
Pendant la guerre de 1914-18, des travaux de fortification mirent au jour une pertuisane enterrée lors d'un très ancien combat. Si on multiplie la longueur L de la pertuisane exprimée en pieds, par la ...
C'est un pot pourri de quelques exercices simples qui font appel au bon sens :
Premier clin d'oeil
Quel est le coefficient du monôme x25 dans le polynôme du 26 ème degré (x-a).(x-b).(x-c)....(x-z)? ...
Le prince de Polignac est bien connu pour sa conjecture toujours non démontrée selon laquelle il y a une infinité de nombres premiers p tels que p+2 est aussi un nombre premier. On lui a attribué une ...
On considère la somme : Montrer qu'elle peut s'exprimer sous la forme d'une fraction rationnelle irréductible p/q. A129-solution
Question N°1
A titre de zakouski, quelle est la valeur simplifiée de la somme de ces trois radicaux : ?
Question N°2
A titre de plat de résistance, quelle est la valeur de l'expression ...
En présence de Théophile pris comme témoin, Diophante présente à Hippolyte la grille ci-dessous qui contient 49 nombres entiers et lui donne sept pièces de monnaie qui ont chacune la taille d'une case ...
Moyen ***
