Le casse-tête de décembre 2022 enregistré sous la rubrique D4931-Deux pavages de rectanges a été résolu par Thérèse Eveilleau,Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade,Daniel Collignon, Raymond Bloch.

Le casse-tête de décembre 2022 enregistré sous la rubrique E6931 requiert tout simplement une grosse boite d'allumettes avec laquelle il convient de s'armer de beaucoup de patience.

On agence n allumettes de même longueur de manière à obtenir un graphe d’un seul tenant dessiné sur un plan, dont toutes les arêtes sont des segments de droite qui peuvent se rencontrer en des points distincts de leurs extrémités.
On désigne par s(n) le nombre de sommets de ce graphe.
Par exemple, voici trois graphes-allumettes obtenus avec 5 allumettes de même longueur.

Dans le premier graphe on a s(5) = 6, dans le deuxième s(5) = 5 et dans le troisième s(5) = 4
Pour tout entier n ≥ 1, il existe au moins un graphe qui rend maximum le rapport n/s(n). On désigne par r(n) la valeur maximale de ce rapport.
Par exemple pour n = 5, r(5) = 5/4 qui correspond au losange obtenu par adjonction de deux triangles équilatéraux.
Déterminer le plus petit entier n tel que :
  a) r(n) ≥  3/2
  b) r(n) ≥ 2
Pour les plus courageux : existe-t-il un entier n tel que r(n) = 3 ?