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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Bienvenue à 2023 Imprimer Envoyer
La gazette

année 2023

Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour cette nouvelle année 2023.

Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de plusieurs énigmes qui mettent le millésime 2023 à l'honneur.

 


A1777 – Le classique du 1er janvier
[*]

Le classique parmi les classiques :avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui donne un résultat égal à 2023  et fait intervenir :
1) les neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre, les concaténations étant interdites.
 Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9.
2) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant interdites.
 Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 =  –  1 + 5 x 6 + 8 x 9
3) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pas nécessairement pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant autorisées.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 =   89 + 3 x 4

A1778 ‒ Vive 2023 [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Puce a divisé l’entier naturel p par l’entier naturel q ≤ 80.La séquence des chiffres 2,0,2,3 est apparue dans cet ordre quelque part après la virgule dans la représentation décimale du quotient.
Prouver que Puce a commis une erreur de calcul.

A3901 ‒ Qui suis-je ?  Qui sommes-nous ? [* et ** à la main]
Ex1 Je suis le plus petit entier à quatre chiffres qui est le reste d’une division de nn par n! (factorielle de n) pour un entier n convenablement choisi. Qui suis-je ?
Ex2 Dans la suite croissante des nombres premiers écrits en base 4 : 2,3,11,13,23….je suis le 16ième terme de la sous-suite des termes qui ont quatre chiffres.Qui suis-je ?
Ex3 Nous sommes des entiers qui avons chacun moins de 12 chiffres. Chacun de nous est égal à la fois à un carré parfait à deux unités près et au septuple d’un deuxième carré parfait. De plus la somme de nos chiffres est l’un de nos diviseurs.Qui sommes-nous?

A5931 ‒ Deux irrationnels pour un entier [** à la main]
Proposer deux fonctions a(x) et b(x) non constantes telles que a(2023) et (2023) sont des nombres irrationnels positifs et a(2023)b(2023) = 2023. Exprimer  a(2023) et b(2023) avec six décimales significatives.

E6932 – Un crible joséphien [*** avec l’aide d’un automate]
On écrit la suite S0 des entiers naturels 1,2,3,…
1er tour
Partant du nombre 1, on efface un entier sur deux à savoir 2,4,6,….et il reste la suite S1 :  1,3,5,7,9,11,13…
2ème tour
Toujours en partant du nombre 1, on efface dans S1 un entier sur trois  5,11,…et il reste la suite S2 : 1,3,7,9,..
….
kième tour
Toujours en partant du nombre 1, on efface dans Sk-1 un entier sur k + 1 et il reste la suite Sk.
….
ad infinitum et on obtient la suite S.
Prouver que 2023 appartient à S et donner sa position.

 

Rappelons pour ceux qui découvrent le site que chaque mois sont mis en ligne:

- les problèmes du mois dont le niveau de difficulté varie généralement entre 3 et 5 étoiles (difficulté moyenne à très difficile) et qui sont à résoudre le plus souvent à la main sans l'aide d'un ordinateur, dans les mêmes conditions que la plupart des compétitions mathématiques (championnat international des Jeux Mathématiques organisé par la FFJM, olympiades nationales et internationalesde mathématiques par exemple).
Bien entendu les solutions obtenues avec l'aide d'un ordinateur sont acceptées et nous demandons simplement à leurs rédacteurs de décrire succinctement l'algorithme qui a été retenu et éventuellement de l'accompagner du programme lui-même. Les solutions des problèmes du mois M sont toujours données au début du mois M + 1. Pour imprimer en une seule fois les énoncés des problèmes du mois, cliquer sur l'onglet "Problèmes du mois" situé en haut à droite de la barre d'affichage.

- un casse-tête qui offre l'occasion d'exercer ses neurones pendant un laps de temps plus ou moins grand selon son inspiration.

- des problèmes généralement difficiles qui peuvent être résolus à la main mais pour lesquels l'usage d'un ordinateur se révèle utile (grilles de nombres croisés par exemple).Ces problèmes figurent dans la rubrique des problèmes ouverts

- sans oublier le coin des lecteurs qui proposent de leur côté de nouveaux problèmes.

Exprimer 2018 comme somme d'un nombre minimal de palindromes.
Pour les plus courageux
-Déterminer le plus petit entier n à 4 chiffres pour lequel il faut au moins trois entiers palindromes dont la somme est égale à n.
-Déterminer le nombre minimal d’entiers palindromes dont la somme est égale  à 314159265358979323846 (i.e. les 21 premiers chiffres de pi)
-Pour les plus courageux: déterminer le plus petit entier k₀ tel que tout entier n peut s'exprimer comme somme de k₀ palindromes au plus.
Nota: un entier palindrome est le même, qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. exemples 2552, 13031
 
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