Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil
Casse-tête de septembre 2022 Imprimer Envoyer
La gazette

diophante009Le casse-tête de l'été 2022 enregistré sous la rubrique J164-Ratissage optimal a été résolu par Fabien Gigante,Thérèse Eveilleau,Daniel Collignon et Bernard Vignes..

Le casse-tête de septembre 2022 enregistré sous la rubrique A397-Nombres économes et dispendieux est un très bon exercice de calcul mental. Calculette,tableur ou automate programmable sont conseillés pour la seule question destinée au plus courageux.

Un entier strictement positif est dit « économe » si sa factorisation canonique(1) utilise un nombre de chiffres strictement plus petit que l’entier lui-même.
Par exemple, l’entier 1536 = 3*29 est économe avec les trois chiffres de sa factorisation (2,3 et 9) moins nombreux que le quatre chiffres (1,3,5,6) qui le composent. De même l’entier 3125 = 55 est économe avec les deux chiffres (5 et l’exposant 5) de la factorisation à comparer aux quatre chiffres qui le composent(1,2,3,5).
A l‘inverse, l’entier est dit « dispendieux » si le nombre de chiffres de la factorisation est strictement plus grand que son propre nombre de chiffres.
Par exemple,l’entier 216 = 23.33 est dispendieux car les quatre chiffres de la factorisation (2 et trois fois 3) sont plus nombreux que les trois chiffres (1,2,6) qui le composent.

Q₁ Déterminer les dix plus petits entiers économes et vérifier que quatre d’entre eux ont pour somme 2022 (solution unique).
Pour les plus courageux : trouver deux entiers consécutifs économes.

Q₂ Pour tout entier dispendieux N, on désigne par r, coefficient de cherté, le rapport du nombre de chiffres distincts de la factorisation de N au nombre de chiffres distincts de N.
Par exemple 2022 = 2*3*337 est un entier dispendieux et son coefficient de cherté est 3/2.
Trouver un entier dispendieux de quatre chiffres distincts dont le coefficient de cherté est égal à 2.
Prouver que pour r prenant successivement les neuf valeurs 2,3,4,5,6,7,8,9,10 on sait trouver au moins un entier dispendieux.

(1) Nota : la factorisation canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers. Exemples : 96 = 25.3, 1350 = 2.33.52

D4901 ‒ Pavages d'hexagones [*** à la main]
Avec n triangles équilatéraux de côté unité,on pave un hexagone pas nécessairement convexe dont les côtés ont pour longueurs pas nécessairement prises dans cet ordre : 1,2,3,4,5,6.
Q₁ Démontrer que l'entier n est toujours impair.
Q₂ Déterminer les valeurs extrêmes de n et représenter les pavages correspondants.
Pour les plus courageux:
Q₃ Déterminer toutes les valeurs possibles de n.
Q₄ Déterminer tous les pavages possibles non superposables deux à deux.
 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional