1° Le mauvais génie autour de l'étang est 4 fois plus rapide que Diophante dans l'eau.

Soit O le centre de l'étang circulaire, D et G les points qui désignent respectivement les positions de Diophante et du mauvais génie.

La voie de sortie qui vient naturellement à l'esprit consiste pour Diophante à rejoindre la circonférence d'un cercle concentrique à l'étang circulaire en un point A suffisamment éloigné de O tel que de ce point Diophante voit G sur la rive opposée par rapport à O, ce qui lui donne le temps de rejoindre le point B le plus proche de la berge avant que le mauvais génie ne puisse accomplir un demi-tour complet de l'étang.

Si l'on se reporte à la figure ci-dessus, il en résulte que 4AB est inférieur à R avec R rayon de l'étang circulaire = 100 mètres. Si est le rayon du cercle concentrique, on a 4(R- ) < R ou > (1 - /4)R = 0,2146018..*R 21,46..mètres.

Comment atteindre le point A tel que A, O et G pris dans cet ordre soient alignés ? Diophante n'a aucune difficulté pour nager en ligne droite à partir de O sur une distance d afin de rejoindre la circonférence d'un cercle concentrique à O. La difficulté pour lui est de faire en sorte qu'il soit à l'opposé de G par rapport à O. Pour la résoudre, il convient de considérer un deuxième cercle lui aussi concentrique à l'étang et de rayon =R/4=25 mètres. Le long de la circonférence de ce cercle la vitesse angulaire de Diophante est égale à celle du mauvais génie qui tourne autour de l'étang. Pour tout cercle de rayon r < , la vitesse angulaire de Diophante est plus élevée que celle du mauvais génie et lui permet donc après un certain nombre de brassées de se placer en un point A du cercle de rayon r opposé à G par rapport à O.

La tactique de Diophante est désormais tracée. Il s'agit de rejoindre en ligne droite un point de l'anneau délimité par les deux cercles de rayon à une distance r de O. Dès que ce point est atteint, il nage le long d'un cercle de centre O et de rayon r. Quels que soient les mouvements de mauvais génie autour de l'étang, Diophante parviendra toujours à se mettre au point A recherché. Il a tout intérêt à ne pas prendre une valeur de r trop proche de car il est toujours dangereux pour lui de se télescoper avec le mauvais génie sur la berge. De même, s'il prend un rayon r très proche de , sa vitesse angulaire sera peu différente de celle du mauvais génie et il lui faudra beaucoup de temps (avec risque de crampes?) pour atteindre un point A opposé à G. r = 0,23R = 23 mètres est un bon compromis.

D'où la trajectoire de Diophante tracée en bleu foncé ci-après avec les points qui la jalonnent et les points correspondants du parcours du mauvais génie.

2° Ce parcours est-il optimal et permet-il à Diophante d'échapper à un mauvais génie dont la vitesse de déplacement V serait supérieure à 4 fois la sienne v dans l'eau ?

Non car pour V = 4,5v on constate que le cercle concentrique à l'étang et de rayon = 100/(4,5) = 22,22?mètres est situé à l'intérieur du cercle de rayon et Diophante ne parviendra jamais à atteindre un point A opposé à G par rapport à O car sa vitesse angulaire sera plus faible que celle du mauvais génie sur la circonférence du cercle de rayon .

Le parcours optimal est tracé ci-après :

On suppose d'abord que le mauvais génie parcourt le tour de l'étang dans le sens trigonométrique et ne change pas de direction. Pendant qu'il parcourt le quart de cercle, , Diophante nage en faisant en sorte que les points D, O et G restent toujours alignés. On démontre (voir addendum en fin de page) que son trajet est alors un demi-cercle de diamètre = R/k avec k = V/v. Arrivé en , au lieu de se diriger vers la berge la plus proche comme il l'avait fait précédemment, Diophante « prend la tangente » au sens propre et figuré et sa direction est instantanément opposée à celle du mauvais génie. C'est ainsi qu'il remonte vers le Nord en suivant la trajectoire qui est à la fois perpendiculaire au diamètre et tangente à la précédente trajectoire circulaire. Pendant ce temps là, le mauvais génie parcourt l'arc de cercle en passant par la partie Sud de l'étang. Diophante sort sain et sauf de l'étang si n'est pas inclus dans l'arc .

Soit a l'angle ( ). Diophante est rescapé si Rsin(a) / v < ( +a)R / V ou encore sin(a) < ( +a)/k avec Rcos(a) = = R/k ou encore cos(a) = 1/k.

Le cas limite est obtenu avec sin(a) = ( +a)/k et cos(a)=1/k soit tang(a) = +a qui a pour solution a = 1,3518168..radian = 77.453398..° et donne k = 4,6033388.. > 4,5

Diophante parcourt donc le cercle de diamètre = 100/4,6033388.. = 21,723.. mètres puis une trajectoire rectiligne de longueur 100*sin(77.45..°) = 97,61..mètres. L'arc a pour longueur 100( +1,3518..) = 449,34.. mètres. Le temps mis par le mauvais génie pour parcourir cette distance est supérieur à celui de Diophante pour réaliser la distance . En effet 449,34.. / V = 449,34../4,5v = 99,85.../ v > 97,61?/v.

Que se passe-t-il si le mauvais génie change fréquemment de direction ?

S'il le fait pendant la première partie de la trajectoire de Diophante qui va de à , Diophante modifie son trajet en restant toujours aligné avec les points G et O. Il parcourt ainsi une succession de mini arcs de cardioïde (voir addendum en fin de page) jusqu'à se trouver à une distance égale à 1/k du centre O de l'étang et à ce moment là il prend à nouveau la tangente avec une direction instantanée opposée à celle du mauvais génie et en terminant son parcours par une trajectoire rectiligne.

Si le mauvais génie change de direction sur la partie du trajet de Diophante, ce dernier à nouveau rectifie sa trajectoire pour rester aligné avec les points G et O en parcourant là encore de mini arcs de cardioïde qui l'éloigne du centre O et le rapproche de la berge de l'étang. Quand le mauvais génie ne change plus de direction, Diophante est dans une position encore plus favorable que si le mauvais génie n'avait pas changé de direction car il est plus proche de la berge qu'auparavant .Il prend à nouveau la tangente dans une direction instantanée toujours opposée à celle prise par le mauvais génie.

Pendant l'instant élémentaire dt, Diophante et le mauvais génie parcourent respectivement les distances vdt et Vdt et la droite GOD devient G'OD' avec une rotation du.

On a les relations suivantes :

Vdt = Rdu

D'où l'équation différentielle dont la résolution donne r = qui est l'équation d'un cercle.