Trois amis et une moto

La recherche des trajets optimaux fait appel aux mêmes principes déjà évoqués dans des problèmes analogues :

• les trois amis arrivent en même temps à la ville,
• il y a au moins deux amis qui effectuent les mêmes distances à pied et sur la moto.

Le graphe ci-dessus décrit les trajets des uns et des autres :

- C (couleur rouge) est le conducteur de la moto pendant toute la durée du parcours,

• A ( couleur bleue) commence le parcours à pied jusqu'au point (1) tandis que C amène B sur la moto jusqu'au point (2),
• B (couleur verte) poursuit à pied à partir du point (2) jusqu'à la ville,
• A toujours à pied se rend au point (3) que C rejoint seul à moto après avoir fait demi-tour.
• C retrouve A au point (3) et l'amène sur la moto pour rejoindre la ville en même temps que B.

La mise en équation est très simple. Si X est la distance parcourue à pied par A et par B, la distance parcourue à moto par C seul ou accompagné de l'un de ses amis est égale à 2*(60 ? X) + (60 ? 2X) =180 ? 4X

Comme les trois amis arrivent en même temps à la ville, on a l'équation suivante dont les membres de gauche et de droite donnent respectivement la durée du trajet pour A et B d'une part et pour C d'autre part :

X / 5 + (60-X) / 50 = (180 - 4X) / 50.

D'où 10X = 120 ? 3X qui donne X=120 / 13 et la durée totale du parcours est T = 186 / 65 = 2,8615? heures < 3 heures.

Les trois amis arrivent avant 15 heures à la ville et ils ont même plus de huit minutes d'avance sur l'heure du rendez-vous.

Quatre amis et une moto

Le diagramme avec quatre personnes est une simple extension du diagramme précédent :

Les quatre amis sont repérés respectivement par les couleurs de leur trajet : bleu foncé pour A, mauve pour B, vert foncé pour C et rouge pour D qui fait tous les allers et retours sur la moto. Les trois amis A,B et C parcourent X à pied et 60 ? X sur la moto tandis que D parcourt 3*(60 ? X) + (120 ? 3X) = 300 ? 6X avec 3*(60-X) dans le sens village ville et 120 ? 3X dans le sens ville village.

Les quatre amis arrivent en même temps à la ville au bout d'un temps T défini par T = X / 5 + (60-X) / 50 = (300 ? 6X) / 50.

D'où 10X = 240 ? 5X qui donne X = 240 / 15 = 16 km et T = 204 / 50 = 4,08 heures > 4 heures.

Cette fois-ci les quatre amis arrivent avec près de 5 minutes de retard.

k amis et une moto

k-1 amis parcourent la même distance X à pied et 60 ? X sur la moto tandis que le motocycliste parcourt (k-1)*(60-X) dans le sens village ville et (k-2)60 ? (k-1)X dans le sens ville village.

D'où X = 120(k-2) / (2k+7) et la durée totale du parcours est T = 6(20k ? 29) / 5(2k+7).

On vérifie que pour k=3 et k=4, on retrouve bien les valeurs déjà calculées.

Le temps de parcours T est inférieur à k heures si 6(20k-29) / 5(2k+7) < k. L'inéquation du second degré est satisfaite pour toute valeur de k extérieure à l'intervalle . Les seules valeurs de k intérieures à cet intervalle sont 4 et 5. Les k amis arriveront donc en retard sur un horaire de k heures s'ils sont 4 ou 5. Ils seront toujours à l'heure dans les autres cas.

Il est facile de voir que si les amis sont très nombreux, ils feront pour l'essentiel de la marche à pied et la durée du trajet sera au maximum de 12 heures (en supposant bine entendu qu'ils supportent la cadence de 5 km/h sur une aussi longue distance?).Pour tout k>12, ils arriveront donc bien à la ville avant k heures.