1) C'est une variante du problème de la traversée du désert n° I101. Le planteur devra adopter la même démarche consistant à constituer des réserves intermédiaires et pour utiliser au mieux son éléphant, il devra le charger de 1000 bananes à chaque fois que celui-ci marche dans la direction du marché. Ceci n'est possible que si les réserves intermédiaires comportent un nombre entier de milliers de bananes. Le stock initial de 5000 bananes est donc transporté en un point à une distance où seront stockées 4000 bananes puis ces dernières seront transférées en point éloigné de d'une distance où seront stockées 3000 bananes etc.. 

 

Pour le transport des 5000 bananes, comme l'éléphant porte au maximum 1000 bananes, 4 allers et retours + 1 aller sont nécessaires. On a donc l'équation : 9* =1000 =1000/9.

 

De la même manière, on obtient : =1000/7 et =1000/5.

 

A l'issue de ces trois transferts, on a atteint le point situé à la distance du point de départ soit 1000*143/315 =454 km. La réserve est réduite à 2000 bananes.

 

Compte tenu de la distance qu'il reste à parcourir, cela vaut encore la peine de constituer un stock intermédiaire de 1000 bananes au point qui est situé à une distance =1000/3 de . La distance résiduelle est de 213 km. Le dernier voyage de l'éléphant permet d'amener 786 bananes au marché.. Si on avait ignoré le point , l'éléphant aurait transporté 1000 bananes du point mais n'en aurait apporté que 454 au marché et 1000 bananes auraient pourri.Le coefficient de perdition est de (5000 - 786)/5000 = 84,3%.

 

2) Avec 10000 bananes à transporter, les points intermédiaires sont situées à des distances du point de départ D telles que =1000*(1/19 + 1/17 + 1/15 + 1/13 +1/11+....). On constate que d(D, ) = 800 km < 1000 km avec une réserve de 2000 bananes au point et d(D, ) = 1133 km > 1000 km. Le point est donc la dernière étape intermédiaire et l'éléphant amène en fin de compte (1000-2*200) + (1000 - 200) = 1400 bananes à bon port. Le coefficient de perdition est encore plus élevé que précédemment et atteint 86,0%.

 

3) Avec 25000 bananes, on vérifie que (1/49 + 1/47 +..... +1/9 ) = 0,915035773..<1 et (1/49 + 1/47 + .... +1/9 +1/7)= 1,057892916 >1. La dernière étape intermédiaire est le point ou sont stockées 4000 bananes. L'éléphant amène donc au marché 3*(1000-2*85) + (1000 - 85) = 3405 bananes. Le coefficient de perdition est 86,4% .

 

4) Quand le nombre de bananes à transporter devient de plus en plus grand, le coefficient de perdition se stabilise et tend vers la constante =0,8646647... qui est la limite de p/n quand en respectant l'équation suivante : .
Jean Moreau de Saint Martin en donne la démonstration.