Daniel Collignon, Pierre Henri Palmade et Claude Morin ont trouvé la solution
Solution de Daniel Collignon
Notons la situation initiale (x, y, z) désignant les faces visibles (dessus, devant, droite).
Voyons le résultat d'un déplacement unitaire :
- vers la droite (x, y, z) => (7-z, y, x)
- vers le bas (x, y, z) => (7-y, x, z)
- vers la gauche (x, y, z) => (z, y, 7-x)
- vers le haut (x, y, z) => (y, 7-x, z)
1/ Voyons ce que cela donne sur n cases d'une même direction (et en tournant autour du dé de manière à le regarder repartir selon la même vue à chaque changement de direction) :
* n = 2, la situation devient (7-z, 7-x, y), (7-y, z, 7-x), (x, y, z).
Il faut donc 3 tours pour que le dé retrouve sa position initiale.
* n = 3, la situation devient (7-x, z, y), (x, y, z).
Il faut donc 1 tour pour que le dé retrouve sa position initiale.
* n = 4, la situation devient (z, x, y), (y, z, x), (x, y, z).
Il faut donc 3 tours pour que le dé retrouve sa position initiale.
* n = 5, la situation devient (x, y, z).
Il faut donc 1 tour pour que le dé retrouve sa position initiale.
Au-delà, le résultat ne dépend que de n modulo 4 car le dé retrouve sa position initiale au bout de 4 déplacements selon une même direction.
Dans le cas général n>1, nous pouvons donc résumer comme ceci :
- si n est pair, il faut 3 tours pour que le dé retrouve sa position initiale
- si n est impair, il faut 1 tour pour que le dé retrouve sa position initiale
Comme 2006 est pair, il faut donc 3 tours pour que le dé retrouve sa position initiale.
2/ Voyons ce que cela donne sur les premières valeurs avec la situation initiale (3, 2, 1)
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case
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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situation
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3
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6
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5
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3
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2
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6
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5
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3
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2
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4
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6
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3
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1
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2
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6
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5
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1
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3
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6
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4
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1
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5
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6
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2
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1
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5
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4
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2
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3
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2
|
2
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6
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6
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6
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5
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1
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1
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1
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1
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4
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6
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3
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3
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3
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3
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3
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6
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4
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1
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3
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3
|
3
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3
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3
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3
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5
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4
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2
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1
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3
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3
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2
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4
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4
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4
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5
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3
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2
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2
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2
|
2
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6
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5
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1
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2
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2
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2
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2
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2
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1
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5
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6
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2
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1
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1
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1
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1
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Nous sommes chanceux car la position initiale se répète dès la 29 ème case (ensuite 45, 49, de 4 en 4 de 125 à 169, puis de 293 à 305, ?)
Pour répondre à l'autre question, voyons ce que cela donne à l'issue d'un parcours de 2p-1 cases à droite, 2p-1 cases en bas, 2p cases à gauche et 2p cases en haut (soit 8p-2 cases, pour p>0) avec un retour à la case numéro 1 + somme (p=1..n, 8p-2) = 1 + 2n(2n+1) :
* p = 1, (x, y, z) => (7-y, z, 7-x)
* p = 2, (x, y, z) => (y, 7-z, 7-x)
Au-delà, le résultat ne dépend que de p modulo 2 car cela ajoute des bouts de 4 déplacements sur chaque sous trajet.
Sur ces cases d'angles, le retour à la situation initiale se fait tous les 6 parcours :
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n
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0
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1
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2
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3
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4
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5
|
6
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?
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|
case
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1
|
7
|
21
|
43
|
73
|
111
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157
|
?
|
|
situation
|
(x, y, z)
|
(7-y, z, 7-x)
|
(z, x, y)
|
(7-x, y, 7-z)
|
(y, z, x)
|
(7-z, x, 7-y)
|
(x, y, z)
|
?
|
Pour n = 22 = 6*3+4, nous avons 1 + 2n(2n+1) = 1981 avec la situation (y, z, x)
Ensuite il y a un trajet de 2*23-1 = 45 déplacements vers la droite, donc 2006 se situe sur ce segment.
Comme 2006 ? 4*6 = 1982, la situation sur la case 2006 sera la même que sur la case 1982.
Cette dernière contient la situation n =4 plus un déplacement à droite, c'est-à-dire (7-x, z, y).
Avec (x, y, z) = (3, 2, 1) cela nous donne donc la situation (4, 1, 2) sur la case 2006.
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