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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes par thèmes

G. Probabilités

G2. Combinatoire - Dénombrements

G244. Les puces de mon vieux PC

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G244. Les puces de mon vieux PC

Mon vieux PC est équipé de quatre puces mises en série qui sont toutes hors d'usage. Je dispose d'un lot de seize puces de rechange dont huit sont défectueuses mais j'ignore lesquelles. L'ordinateur fonctionne seulement quand les quatre puces sont en bon état.Pour installer une ou plusieurs puces ou les retirer, je prends toujours la précaution d'éteindre l'ordinateur et chaque essai entre deux allumages dure deux minutes. Avec mes réminiscences d'analyse combinatoire, je sais qu'il y a C(16,4) = 1820 façons de choisir quatre puces dans un lot de seize puces parmi lesquelles il y a seulement C(8,4) = 70 façons d'en prendre quatre qui sont en bon état.Dans le cas le plus défavorable ma réparation peut donc durer fort longtemps.Je vous demande de m'aider à réduire la durée maximale D de la réparation. Déterminer la plus petite valeur possible de D.

Solution

Il est facile de voir qu'après le partage des 16 puces en deux lots de 8 puces chacune, le principe des tiroirs garantit au moins 4 bonnes puces dans l'un des 2 lots. Dans le pire des cas, en testant les puces de ce deux lots prises 4 par 4, il y a donc 2*C(8,4) = 2*70 = 140 essais qui demandent 280 mn soit 4h 40 mn.
Tous les lecteurs qui ont traité ce problème ont amélioré sensiblement ce score en opérant une partition des 16 puces en sous-lots de a,b,c,... puces. Les réponses font apparaître un large éventail avec des sous-lots de même taille (par exemple : 4,4,4,4) ou distincts (par exemple 9,7 ou 7,7,2). Michel Lafond a réalisé le meilleur temps D avec 60 essais, suivi par Claudio Baioochi avec 71 essais. Peut-on faire mieux?
Voir les solutions de:
Michel Lafond,Claudio Baiocchi,Jérôme Pierard,Yves Etievant,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Claude Morin.

Julien de Prabère nous a adressé un script très intéressant dans lequel à partir de la méthode de Michel Lafond, il traite la question de la réduction statistique du nombre des essais.

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Commentaires (1) add comment

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Julien de Prabère said:

Peut-on faire mieux nous interroge Diophante ?

Oui certainement statistiquement, quelques simulations montrent, en effet, qu?avec la meilleure solution proposée pour réduire à coup sûr le nombre d?essais, l?ordre dans lequel ceux-ci sont effectués n?est pas indifférent. Sans aller chercher le théorème de Bayes sur la probabilité des causes, il est évident qu?en testant d?abord des ensembles disjoints, on accroît la probabilité d?essais fructueux précoces. Autrement dit, la solution proposée peut-être améliorée en ordonnant les essais... Encore conviendrait-il de savoir comment ?

Ne serait-il pas alors plus efficient de procéder par tirages au sort en affectant à chaque puce une probabilité de tirage liée au nombre des essais infructueux antérieurement subis ? Quelle loi de probabilité assurerait alors statistiquement le meilleur temps ?

Et puis le coût de cette assurance à 100% n?est-il pas prohibitif ? Autrement dit, ne serait-il pas acceptable de devoir procéder très rarement à un grand nombre d?essais pour le plus souvent gagner du temps ?

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February 18, 2010
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