A) Vendredis 13

On numérote les jours de la semaine de 1 à 7 et on suppose que le 13 janvier est un dimanche numéroté 1. Soit N(i) le nombre de jours du ième mois. Les 13 des mois i=2,3,..,12 sont caractérisés par l'entier k tel que N(i-1) k , modulo 7.

On obtient ainsi deux séquences de douze entiers compris entre 1 et 7, la première pour les années ordinaires : 1 4 4 7 2 5 7 3 6 1 4 6, la seconde pour les années bissextiles : 1 4 5 1 3 6 1 4 7 2 5 7.

La première séquence s'interprète ainsi : si le 13 janvier est un dimanche, alors le 13 février est un jeudi (+4) ainsi que le 13 mars (+4). Le 13 avril tombe un dimanche (+7), etc?. La deuxième séquence est logiquement décalée d'une unité à partir du 3ème rang, c'est à dire au mois de mars.

On observe que la première séquence fait apparaître le chiffre 4 trois fois et la seconde le chiffre 1 trois fois également. Par conséquent, le nombre maximum de vendredis 13 dans une année est de 3 qu'elle soit ordinaire (février, mars, novembre) ou bissextile (janvier, avril, juillet).

Les années à trois vendredis 13 au 21ème siècle sont les huit années ordinaires commençant un jeudi : 2009, 2015, 2037, 2043, 2065, 2071, 2093, 2099 et les quatre années bissextiles commençant un dimanche : 2012, 2040, 2068 et 2096.

Le nombre maximum de jours consécutifs sans vendredi 13 est de 426 jours. La dernière fois que cela s'est produit a été entre le 13 août 1999 et le 13 octobre 2000. La prochaine apparition d'un intervalle aussi long aura lieu entre le 13 juillet 2012 (année bissextile déjà mentionnée) et le 13 septembre 2013. Toutes les longueurs possibles des intervalles qui séparent deux vendredis 13 se limitent à la liste : 27, 90, 181, 244, 272, 335 et 426 que les années soient ordinaires ou bissextiles.

B) Jours fériés

Les 1 er janvier, 1 er mai, 8 mai, 15 août, 1 novembre, 11 novembre et 25 décembre ont pour quantièmes dans l'année Q(i) = 1, 121, 128, 227, 305, 315, 359 dans un année ordinaire  et Q(i) = 1, 122, 129, 228, 306, 316 et 360 dans une année bissextile.

Supposons que le 1 er janvier soit un dimanche numéroté 1. Pour chaque jour férié, on calcule l'entier k tel que Q(i) k modulo 7. D'où les deux séquences  pour les années ordinaires : 1 2 2 3 4 7 2 et 1 3 3 4 5 1 3 pour les années bissextiles.

On observe que dans une année donnée ordinaire ou bissextile il y a au maximum quatre mois caractérisés par deux entiers k consécutifs. Dans les années ordinaires si le 1 er janvier tombe un samedi, le 1 er mai, le 8 mai et le 25 décembre tombent un dimanche et si le 1 er mai tombe un samedi, le 8 mai et le 25 décembre ont lieu un samedi également et le 15 août tombe un dimanche. Cette deuxième séquence se retrouve au cours des années bissextiles, par exemple en 2004.

Il y a des années au cours desquelles aucun des jours fériés précédemment mentionnés ne tombe un samedi ou un dimanche. En effet dans la première séquence les chiffres 5 et 6 n'apparaissent pas, de même que les chiffres 6 et 7 n'apparaissent pas dans la deuxième. C'est ainsi que si le 1 er janvier d'une année ordinaire tombe un mardi, le 1 er mai, le 8 mai et le 25 décembre tombent un mercredi, le 15 août un jeudi, le 1 er novembre un vendredi et le 11 novembre un lundi. S'agissant des années bissextiles, il faut que le 1 er jour de l'année soit un lundi.

C) 1 er janvier plutôt samedi ou dimanche ?

Dans le calendrier grégorien, il y a exactement 400*365 + 100 ? 3 = 146 097 jours tous les 4 siècles **.On constate que 146 097 = 20871 * 7, ce qui signifie qu'il y a un nombre entier de semaines tous les 4 siècles et le calendrier se répète jusqu'à l'infini et l'on peut donc limiter l'analyse à cette période de temps.

En 400 ans, il y a 400 mois de janvier et un décompte rapide fait sur ordinateur montre que le 1 er janvier tombe 58 fois un dimanche et « seulement » 56 fois un samedi. Le 1 er janvier tombe donc plus « fréquemment » le dimanche que le samedi ! Mais à l'échelle d'une vie humaine, est-ce bien perceptible ?

**On rappelle que les années bissextiles ont lieu tous les 4 ans à l'exception des fins de siècles non divisibles par 400 (par exemple 2100,2200,2300 ne sont pas bissextiles mais 2400 qui reste bissextile comme l'a été l'année 2000).