Pierre Henri Palmade, Jean Moreau de Saint Martin, Paul Voyer et Daniel Collignon ont répondu au problème.

On peut soutenir que les 3 réponses proposées sont fausses : le milieu d'une corde plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit est intérieur à un cercle de rayon moitié et d'aire 4 fois plus petite. Il y a bijection entre les cordes d'un cercle et leurs milieux. Si ceux-ci sont répartis dans l'intérieur du cercle donné avec une densité de probabilité constante, la bonne probabilité est 1/4.

Pour être un peu plus sérieux, on peut dire que chaque mode d'intervention du hasard peut justifier une réponse différente. Par exemple, on obtient la probabilité 1/2 si la distance du centre à la corde est prise entre 0 et 1 avec densité de probabilité constante.

Si chacune des extrémités de la corde est prise au hasard sur le cercle avec densité de probabilité constante, on obtient la probabilité 1/3. De même si la longueur de la corde est prise au hasard entre 0 et 2 avec densité de probabilité constante, on obtient

Solution de Paul Voyer

La notion de "tracée au hasard" n'a pas été définie.

L'énoncé ne précise pas quel paramètre a une répartition uniforme vis-à-vis du "hasard".

Personne ne s'est trompé :

1 ? Si c'est la longueur de l'arc, la réponse est = 120°/180° (Hippolyte). Idem si c'est l'angle au centre.

2 - Si c'est longueur de la flèche, la bonne réponse est (Théophile). Idem si c'est la distance du centre du cercle à la corde

3 ? Si c'est la longueur de la corde, la bonne réponse est (Hippatie).

Solution de Daniel Collignon

C'est le fameux « problème des cordes sur un cercle » plus connu sous le nom de « paradoxe de Bertrand ».

Les différents résultats proviennent de l'application de la formule bien connue : « Probabilité = nombre de cas favorables / nombre de résultats possibles »

Sachant qu'ici nous raisonnons dans un cas continu et qu'il est question de rapport d'aires (intégrales) et que la clef réside dans la manière de définir ce que signifie « tracer une corde au hasard » (densité).

En fait selon la manière de définir la distribution des cordes, on peut aboutir à tout nombre dans ]0 ;1[.

Exemple par le tirage du milieu de la corde :

Tout d'abord le cas où l'on tire 1 point au hasard à l'intérieur du cercle, on montre que la probabilité vaut 1/4, le cas favorable étant celui où le point se trouve dans un cercle de rayon 1/2.

Ensuite imaginons une extension de ce tirage :

D'abord on réalise un premier tirage équiprobable de n>=1 points à l'intérieur du cercle.

Ensuite on en choisit un selon un second tirage non nécessairement équiprobable.

Un cas particulier intéressant est celui où l'on classe les points par distance au centre croissante, et on sélectionne le plus proche (ou un parmi les plus proches en cas d'égalité) ou le plus éloigné. On montre que la probabilité vaut 1-(3/4)^n si l'on sélectionne le plus proche, et (1/4)^n si on sélectionne le plus éloigné.

La littérature sur le sujet est abondante sur Internet, par exemple :

http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/paradoxe/textes/bertrand.htm

http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/proba/corde.pdf

http://www-ensps.u-strasbg.fr/enseignants/harthong/Hist/BERTRAND.HTM

Le dernier lien semble donner des arguments assez solides en faveur d'une probabilité à 1/2.