Daniel Collignon et Pierre Henri Palmade ont répondu au problème

Solution de Daniel Collignon

Si |x|<1, alors rappelons que :

somme(k>=0 ; x^k) = 1/(1-x)

somme(k>=1 ; k*x^(k-1)) = 1/(1-x)^2

La traduction des probabilités ou espérances en équation ne pose aucun problème :

1/ somme(k>=1 ; p(1-q)[(1-q)(1-p)]^(k-1)) = p(1-q) / (1-(1-p)(1-q)) = 3/5

(cette égalité implique que p<>0, q<>1, q<>0 et si p=1, alors q=2/5)

2/ somme(k>=1 ; k*pq(1-pq)^(k-1)) = 1 / pq = A entier

(cette égalité implique que A<>0 et p<>1)

3/ somme(k>=1 ; k*(1-p)(1-q)(1-(1-p)(1-q))^(k-1)) = 1 / (1-p)(1-q) = B entier

(cette égalité implique que B<>0)

4/ somme(k>=1 ; p(1-q)[pq]^(k-1)) = p(1-q) / (1-pq)

1/ => 5p(1-q) = 3(p+q-pq) => 2p = 3q + 2pq

3/ => p+q-pq = (B-1) / B

En combinant ces 2 résultats => q = 2(B-1) / 5B et p = 3(B-1) / (3B+2)

(d'où B<>1)

D'où à l'aide de 2/ => 6A(B-1)^2 = 5B(3B+2) et B est par conséquent un multiple de 3.

Mais 6A(B-1) - 15B = 25B/(B-1) est un entier : B et B-1 étant premiers entre eux, nécessairement B-1 divise 25, d'où B est parmi {2, 6, 26}.

De ce qui précède, nous en déduisons donc que B = 6, d'où A = 4, p = 3/4 et q = 1/3.

La probabilité cherchée vaut donc 2/3.

Solution de Pierre Henri Palmade

Rappelons d'abord, pour x<1 que 1+x+?+x n+?=1/(1-x) et, en dérivant, 1+2x+?+nx n-1+?=1/(1-x) 2.

La probabilité que Diophante tire pile avant Hippolyte, est égale à la somme des probabilités que Diophante tire n-1 fois face puis pile, et Hippolyte n fois face,

soit p(1-q)(1+(1-p)(1-q)+?+(1-p) n-1(1-q) n-1+?=p(1-q)/(1-(1-p)(1-q))

donc p(1-q)/(p+q-pq)=3/5 ou encore p=3q/2(1-q) et 1-p=(2-5q)/2(1-q)

L'espérance que nos deux amis tirent pile en même temps est la somme de n fois la probabilité qu'ils tirent pile ensemble au n-ième coup soit pq(1+2(1-pq)+?+n(1-pq) n-1+?=pq/(1-(1-pq)) 2=1/pq=A soit Apq=1

De même pour l'espérance de tirer face ensemble, B(1-p)(1-q)=1

En tenant compte de la première relation, 3Aq 2=2(1-q) et B(2-5q)=2.

Soit q=2(B-1)/5B , 1-q=(3B+2)/5B et 12A(B-1) 2=10B(3B+2) donc A=5B(3B+2)/6(B-1) 2

B-1 est premier avec B et 5 avec 6; (B-1) 2 doit donc diviser 5(3B+2), et 6 divise B(3B+2), ce qui n'est possible que si B=6k. Alors, (6k-1) 2 doit diviser 5(18k+2), ce qui n'est le cas que pour k=1 (si (6k-1) 2 ne comporte le facteur 5, il doit diviser 18k+2, mais lui est supérieur dès que k≥2, ;la seconde valeur pour laquelle (6k-1) comporte le facteur 5 sera k=6, mais là encore l'impossibilité vient du fait que (6k-1) 2>5(18k+2).

Donc B=6 et A=4 et q=1/3 et p=3/4

La probabilité pour qu' Hippolyte obtienne face avant Diophante sera donc p(1-q)(1+pq+?+p nq n+?)=p(1-q)/(1-pq)=2/3