E647. Un cercle et ses points intègres

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E647. Un cercle et ses points intègres

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E647. Un cercle et ses points intègres

Q1 : Par convention, on appelle « intègres » l'ensemble des points de coordonnées entières (positives, négatives ou nulles) du plan. On se fixe un entier k quelconque positif ou nul. Existe-t-il un cercle du plan qui contient en son intérieur (au sens strict) exactement k points intègres.

Q2 : Démontrer qu'il existe au moins un cercle centré à l'origine qui contient en son intérieur (au sens strict) 2009 points intègres et dont le carré du rayon est un entier n. Donner toutes les valeurs possibles de n.

Solution

Jean Drabbe nous signale que ce problème a été posé en 1957 par Hugo Steinhaus*** dans la revue polonaise Matematyka destinée aux professeurs des écoles secondaires. W. Sierpinski, très connu de nos lecteurs pour ses contributions à la théorie des nombres,en a fait la démonstration dans la revue l'Enseignement Mathématique parue en 1958. De façon analogue,W. Sierpinski a prouvé qu'il existe pour tout entier naturel n une sphère dans l'espace à trois dimensions qui contient en son intérieur exactement n points de coordonnées entières. Puis il a élargi le problème au carré situé dans le plan avec une démonstration plus complexe que pour le cercle. Enfin, H. Steinhaus a démontré qu'il existe pour tout n un cercle de surface n qui contient en son intérieur précisément n points de coordonnées entières.

Gilles Nithart,Claude Morin,Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Daniel Collignon,Patrick Gordon,Pierre Henri Palmade,Pierre Jullien et Antoine Verroken ont résolu le problème

***Mathématicien polonais connu entre autres pour son célèbre ouvrage: "One hundred problems in elementary mathematics". La version française "Cent problèmes de mathématiques élémentaires" paru en 1979 est malheureusement introuvable en librairie.

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