Question n°1 : il existe au moins un triangle équilatéral.

On considère deux points rouges du plan. S'il n'y avait qu'un seul point rouge dans le plan, la construction d'un triangle équilatéral avec les points bleus du plan deviendrait triviale.

Supposons qu'on ne puisse pas construire de triangle équilatéral à partir de ces deux points. Les points C et D qui constituent avec A et B sont donc des points bleus. De la même manière les points E et F qui dessinent avec C et D deux triangles équilatéraux sont rouges et les points G et H qui dessinent respectivement avec A et F d'une part, B et E d'autre part deux autres triangles équilatéraux sont donc bleus. Le triangle CGH est équilatéral.

Conclusion : quel que soit le segment d'origine monocolore, on ne peut pas échapper à la construction d'un triangle équilatéral avec trois points de même couleur.

Question n°2 : il existe au moins un rectangle.

Si on considère un rectangle 6x3, on peut aligner 6 rangées distinctes de 3 points avec toutes les configurations possibles excluant les 2 alignements de 3 points bleus et de 3 points rouges. On constate qu'il n'existe aucun rectangle dont les quatre sommets sont monocolores.

Si l'on ajoute l'une quelconque de ces 6 configurations en 7 ème rangée, on ne peut pas éviter la construction d'un rectangle ayant quatre sommets de même couleur.

Question n°3 : les 2 pointes d'un compas ouvert au hasard peuvent être placées sur 2 points du plan de la même couleur, tous les points étant coloriés en bleu, rouge ou vert.

Soit par convention d=1 l'ouverture du compas. Soit un point bleu O du plan. Avec un deuxième compas, on trace le cercle de centre O et de rayon . Si tous les points de la circonférence de cercle sont bleus, le problème est résolu car il suffit de placer la pointe du premier compas en un point quelconque de la circonférence et les deux points d'intersection du cercle de rayon d=1 centré en ce point avec le cercle de centre O répondent à la question.

Si tous les points de la circonférence ne sont pas bleus, on considère un point rouge B (s'il n'y en a pas, on prendra alors un point vert). A partir de O et B, on trace le losange OABC fait de la juxtaposition des deux triangles équilatéraux OAC et ABC. On a OA=OC=AC=AB=BC=1. Parmi les quatre points O, A, B et C, d'après le principe des tiroirs, 2 au moins la même couleur et comme O et B sont de couleurs différentes, deux points adjacents ont nécessairement la même couleur (A et B dans la figure ci-après) et les deux points du compas peuvent être placés sur eux.