Comme les trois nombres x, y et z sont premiers et peuvent constituer les côtés d'un triangle dont le périmètre est lui-même premier, le nombre x porté par A est inférieur à y+z = 5+7 = 12 et supérieur à z ? y = 7-5 = 2. Les valeurs possibles de a sont donc 5, 7 et 11. En effet 5+5+7 = 17 ainsi que 5+7+7=19 et 5+7+11=23 sont bien des périmètres qui sont des nombres premiers. A l'inverse 3 est à exclure car 3+5+7=15 qui n'est pas premier.

On suppose que x=5.

C verrait les deux nombres 5 et 5 et en déduirait que les seuls nombres premiers qu'il pourrait porter seraient 3 (car 5+5+3=13) ou 7 (car 5+5+7=17).

S'il avait le chiffre 3, alors il en déduirait que A aurait devant ses yeux le couple de nombres (3,5) et en déduirait de son côté que les seuls nombres possibles pour lui sont 3 ( car 3+3+5=11) et 5 (car 3+5+5=13). A éliminerait (3,3) car quiconque verrait (3,3) en tirerait comme conséquence logique qu'il porte nécessairement le nombre 5 ( car 3+3+3=9 qui n'est pas premier et 7>3+3). Or personne ne se manifeste pas pour annoncer le chiffre 5. Donc C devrait en conclure que comme il ne porte pas le chiffre 3, il a sur le front le chiffre 7. Mais lui aussi se tait. Donc A en conclut que x 5.

On suppose maintenant que x=7

Cette fois-ci c'est B qui verrait les deux nombres 7 et 7 inscrits sur les fronts de A et de C et tiendrait un raisonnement similaire à celui de C. Il inférerait que les seuls nombres qu'il pourrait porter sur le front sont 3 (car 3+7+7=17) et 5 (car 5+7+7=19), sachant que 7 est éliminé car 7+7+7=21 qui n'est pas premier de même que 11 car 7+7+11=25 qui n'est pas premier et 13 car 7+7+13=27 qui n'est pas premier. S'il avait le chiffre 3, alors il en conclurait que A aurait devant lui les nombres 3 et 7 et en déduirait qu'il a sur son front les nombres 3 (car 3+3+7=13) ou 7 (car 3+7+7=17). Comme nous l'avons vu précédemment, quiconque verrait (3,3) en tirerait comme conséquence qu'il porte nécessairement le nombre 5. Or personne ne dit pas qu'il porte le chiffre 5. Donc B devrait en déduire que n'ayant pas le chiffre 3, il porte le chiffre 5. Or il reste muet. Donc A en conclut que x 7.

A peut donc proclamer que x = 11.

On vérifie que B voyant x=11 et z=7 et C voyant x=11 et y=5 restent l'un et l'autre dans l'ambiguïté. En effet B peut porter les nombres 5 (car 5+7+11=23) et 11 (car 7+11+11=29) . En se mettant à la place de ses voisins comme A l'a fait précédemment, on constate que tout le monde reste dans l'ambiguïté et B ne peut donc pas se prononcer. Même remarque s'agissant de C qui pourrait avoir les chiffres 3 (car 3+5+11=19) ,7 (car 5+7+11=23) et 13 (car 5+11+13=29).