On détermine pas à pas en fonction des déclarations de Sébastien et de Pierre tous les couples d'entiers susceptibles d'être retenus jusqu'à n'en retenir plus qu'un.

Soit S la somme des deux nombres et P leur produit.

1- Sébastien : Je ne sais pas répondre.

Cette déclaration laisse un éventail encore large de couples (S,P) possibles. Seules sont éliminées les valeurs de S=4, 5, 41 et 42. En effet pour chacune d'elles, Sébastien est en mesure d'annoncer les couples (2,2), (2,3), (20,21) et (21,21).

2- Pierre : Je ne sais pas répondre.

Il en résulte que Pierre n'a aucun produit P qui se décompose de manière unique sous la forme P = a*b. Les valeurs qu'on peut éliminer sont alors :

• les produits de deux nombres premiers (par exemple 14 = 2*7, 15 = 3*5, 33 = 3*11,?)
• les cubes de nombres premiers (par exemple 27 = 3*9)

La liste des décompositions possibles de P est a priori importante. On se limite aux valeurs de P les plus faibles et les plus élevées possibles pour lesquelles il existe au moins deux couples (a,b) aboutissant à des sommes S distinctes. D'où le tableau établi par Pierre et qui explique pourquoi il ne peut pas répondre. Son produit fait partie de la liste : 12, 16, 18, 20, 24,28, 32, 36,?.,168, 180, 210, 240 et 252 qui est la valeur ambiguë la plus élevée possible.

Il est intéressant d'établir le même tableau du point de vue de Sébastien. Il se présente comme suit :

On a colorié avec la même couleur les cases où le produit P est le même : par exemple les cases P=12 coloriées en verte correspondent à S = 7 = 3+4 ou S = 8 = 2+6

3- Sébastien : Alors je connais les deux nombres.

Il en découle que Sébastien détient une somme S pour laquelle il y a une seule valeur possible de P. Comme le montre le dernier tableau, il y a deux réponses possibles S=7 qui correspond au couple (3,4) ou bien S=33 qui correspond au couple (12,21).

4- Pierre : Maintenant, moi aussi.

L'affirmation précédente de Sébastien permet à Pierre de donner le couple (3,4) si son produit est 12 et le couple (12,21) si son produit est 252.

Conclusion : il y a deux solutions possibles (3,4) et (12,21).