E207. Deux familles de séquences « autoréférentes »

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E. Logique - Autoréférences

E2. Autoréférences

E207. Deux familles de séquences « autoréférentes »

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E207. Deux familles de séquences « autoréférentes »

E2. Autoréférences

Famille 1

On considère la séquence de n+1 nombres entiers positifs ou nuls en base décimale : dont le terme général est défini par :

pour tout i >9, = 0
pour , = nombre de fois que le chiffre i apparaît dans toute la séquence.

Famille 2

Dans cette deuxième famille, le terme général est le nombre de fois que le nombre i toujours en base décimale apparaît dans toute la séquence .

Pour chacune de ces deux familles, déterminer la ou les séquences correspondant à n = 2007.

A l'intention des plus courageux :

pour une famille et un entier n >2 donnés, existe-t-il toujours au moins une séquence qui satisfait les conditions d'autoréférence définies ci-dessus ?
traiter le problème avec une base différente de la base décimale.

Solution

Claude Morin, Jean Moreau de Saint Martin et Michel Boulant ont résolu le problème.

Jean Moreau nous a signalé que l'unicité de la solution pour les séquences de la deuxième famille a été démontrée dans le document de Jean Luc Marichal intitulé « On perfect, amicable and sociable chains ». Voir pages 4 et suivantes.