Soient a, b et c les côtés du triangle à construire et S sa surface.

1 er cas :

Avant de se lancer dans la construction, il faut préalablement vérifier qu'elle est possible.

On a les trois relations qui expriment que le double de la surface est égal au produit de chaque côté par la hauteur issue du sommet opposé à ce côté.

D'où 2S = 4a = 7b = 10c. Il en résulte b = 4a/7 et c = 2a/5 et on constate que b + c = 4a/7 + 2a/5 = 34a/35 < a. Le triangle ne peut donc pas être construit.

2 ème cas :

Cette fois-ci on a 2S = 5a = 7b = 11c et la construction est possible car b + c = 5a/7 + 5a/11 = 90a/77 >a.

La formule d'Héron qui donne l'aire du triangle en fonction des côtés a,b et c permet d'écrire avec p=(a+b+c) / 2. Or p = 167a / 154. D'où =5a/2.

Il en résulte = 17,11308248? b = 12,22363035? c=7,778673857?.

Si l'on dispose d'une règle graduée la construction du triangle de côtés a,b et c est donc immédiate. En son absence, on peut également réaliser la construction en observant qu'avec la relation 2S = 5a = 7b = 11c, les côtés sont inversement proportionnels aux hauteurs sur lesquels elles sont projetées. Par conséquent si l'on construit un triangle dont les côtés sont égaux aux dimensions 5,7 et 11 des hauteurs, les hauteurs de sont proportionnelles à 1/5, 1/7 et 1/11. Si on construit une deuxième triangle dont les côtés sont égaux aux hauteurs précédemment déterminées, les hauteurs de ce triangle sont proportionnelles à 5,7 et 11. Le triangle est donc semblable au triangle T recherché.

D'où la construction en 3 étapes résumées en 2 figures :

1 ère figure : construction du triangle dont les côtés sont égaux à 5,7 et 11 et détermination des hauteurs correspondantes (en rouge, vert et bleu).

2 ème figure :construction du petit triangle A'B'C en bas à gauche dont les côtés sont égaux à . Puis on trace la parallèle à B'C d'altitude 5 qui coupe A'C en A. De A on mène la parallèle à A4B' qui coupe B'C en B.

Le triangle ABC répond à la question et ses trois hauteurs sont bien égales respectivement à 5,7 et 11.