Claude Morin, Daniel Collignon et Jean Nicot ont répondu au problème.

Claude Morin et Daniel Collignon font remarquer que :

1) le problème a été posé par Kobon Fujimura d'où le nom de triangles de Kobon donné aux triangles disjoints obtenus par le tracé de n droites concourantes deux à deux qui en maximisent le nombre.

2) le nombre maximum de segments crées par n droites vaut n(n-2).En effet, considérons une droite. Au mieux, elle coupe les n-1 droites en n-1 points distincts, créant n-2 segments. Dans une situation générale où deux droites quelconques ne sont pas parallèles et trois droites quelconques ne sont pas concourantes, il y a au plus n(n-2) segments. L'existence d'éventuelles régions bornées non triangulaires implique que n(n-2) >= 3N, où N désigne le nombre de triangles. Donc [n(n-2)/3] est un majorant de N.

Pour n=9, il y a donc au plus 21 triangles. Un exemple de configuration prouvant que ce maximum peut être atteint est obtenu en traçant neuf points sur un cercle de centre O qui seront les extrémités des 9 droites. Trois de ces points A,D et G délimitent des arcs de 120°.Les points B et I sont symétriques par rapport à la droite OA et délimitent un angle BAI de 20°. Les points C et E d'une part et F et H d'autre part sont tracés de la même manière et sont symétriques par rapport aux droites OD et OG. Plusieurs étoiles de David apparaissent: il y a d'abord une étoile centrale à 6 branches rouges autour de laquelle se déploient six autres étoiles qui ont alternativement 6 branches (2 rouges, 2 bleues et 2 jaunes) et 5 branches (2 rouges, 2 bleues et 1 verte). L'étoile centrale et les étoiles périphériques ont deux branches communes (de couleur rouge) ainsi que les étoiles périphériques considérées deux à deux (1 rouge et 1 bleue).On décompte bien au total N=21 triangles :

La détermination du nombre de triangles obtenus respectivement avec 6 et 7 droites est relativement plus simple. On aboutit à N=7et N=11 triangles sachant que les nombres maxima sont respectivement 8 et 11. Avec 8 droites, le nombre maximum théorique est de 16 triangles mais on ne peut pas faire mieux que N=15.

On trouvera un article (en anglais) sur les triangles de Kobon sur le site de Mathworld : http://mathworld.wolfram.com/KobonTriangle.html

Par ailleurs la séquence 1,2,5,7,11,15,21,...qui donne le nombre de triangles de Kobon en fonction de n figure dans la bibliothèque des séquences remarquables de nombres entiers : http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A00606