Il est impossible de découper un carré unité en 5 triangles de même aire. Si c'était le cas, l'aire commune serait égale à 0,2. Or trois triangles au moins ont au moins une base B qui repose sur les côtés du carré. Pour ces triangles, on en déduit la dimension des hauteurs perpendiculaires aux côtés du carré grâce à la relation B*h=0,2. On vérifie que quels que soient les découpages envisagés, le ou les 2 triangles résiduels ne peuvent jamais avoir une surface égale à 0,2.

Les découpages qui permettent de minimiser la différence entre le plus grand triangle et le plus petit triangle sont illustrés ci-après dans trois figures :

Dans la figure 1, le point E est tel que AE = . F sur AD est tel que AF=AE. G est le milieu de EF. Les trois triangles AEF, BEC et CDF ont la même aire qui est égale à =0,190983? tandis que les deux triangle CEG et CFG qui sont égaux ont une aire égale à (1 ? 3*aire(AEF))/2 = = 0,213525?. La différence entre les aires est égale à = 0,022542?

Dans la figure 2, le point E est au milieu de AB, le point F est à une distance de C de tandis que le triangle AGD est perpendiculaire en G avec DG=CF= . Les aires ADG, CDF et BFG sont identiques et valent . Les triangles AEG et BEG ont même surface égale à . Comme précédemment, la différence des aires maxi-mini s'établit à = 0,022542?.

Dans la figure 3, le point E est dans la même position que le point F de la figure 2. Le point F est sur la diagonale AC à une distance des côtés AB et AD égale à CE = . Les trois triangles ABF, ADF et CDE ont même aire égale à tandis que le triangle BEF a une surface égale à * *1/2 = = 0,213525?. Il en résulte qu ele triangle DEF a une aire identique à celle du triangle BEF. La différence des aires maxi-mini reste toujours égale à = 0,022542?.