• Recouvrement par deux cercles (voir 1 ère figure supra)

Soient R et r les rayons respectifs des deux cercles de centres et qui recouvrent le triangle équilatéral ABC de côté 1.Soit a=angle(CB ).

On a les différentes relations :

D'où la somme des aires des deux cercles : qui atteint son minimum pour

• Recouvrement par 3 cercles (voir 2 ème figure supra)

C'est le cas le plus simple avec les trois cercles identiques dont le rayon R est égal à =0,288675?. La somme des aires des trois cercles est A= =0,785398? Elle est déjà sensiblement inférieure à la valeur /24 précédemment obtenue avec deux cercles.

• Recouvrement par 4 cercles (voir 3 ème figure supra)

Le recouvrement optimal est logiquement obtenu avec trois cercles identiques centrés aux sommets A, B et C du triangle équilatéral et le quatrième cercle qui est le plus grand a son centre situé au centre de gravité du triangle équilatéral.

En reprenant les mêmes notations qu'au §1 et avec a = angle(BD ), on a les relations :

D'où la somme des aires des quatre cercles qui atteint son minimum pour

Il en résulte , ,le rayon du plus grand cercle , celui du plus petit cercle et l'aire totale des quatre cercles A=5 /24.