Le premier triangle auquel on songe est le triangle rectangle obtenu en partageant un triangle équilatéral en deux. Les angles valent respectivement 90°, 60° et 30°. L'angle de 60° vaut le double de l'angle de 30° et l'angle droit vaut le triple de ce même angle. Mais ce triangle est à exclure car ses côtés ne peuvent pas être tous entiers, l'un des côtés de l'angle droit étant dans le rapport Ö3/2 avec l'hypoténuse.

La relation des sinus dans un triangle permet d'obtenir rapidement la réponse.

Soit A = ÐBAC = k* ÐABC = k*B avec k=2,3,4 et soient a, b, c les côtés du triangle ABC.

On a : a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C).

Comme C = P - A -  B = P - (k+1)*B, les relations s'écrivent a / sin(k*B) = b / sin(B) = c / sin[(k+1)*B]

1 er cas : k=2

a / sin(2*B) = a / [2*sin(B)*cos(B)] = b / sin(B) = c / sin(3*B) = c / [sin(B)*cos(2*B) + sin(2*B)*cos(B)]

Comme B est > 0, on peut simplifier les trois membres par sin(B) et en posant X=cos(B), on obtient les identités :

a / (2*X) = b = c / (4*X²-1), d'où l'équation du second degré en X : 4*a*X² -  2*c*X -  a = 0

a, b, et c ne peuvent prendre de valeurs entières que si X est un nombre rationnel. Il en résulte que le discriminant de l'équation, c² +4*a², doit être le carré d'un entier ou d'un nombre rationnel.

Cette condition est satisfaite si l'on retient c et 2*a comme étant les deux côtés de l'angle droit de triangles pythagoriciens de la forme [2*p+1, 2*p*(p+1), 2*p*(p+1) + 1]. Dès lors les côtés a, b et c du triangle ABC dont l'angle A est le double de l'angle B sont respectivement égaux à p*(p+1), p 2 et 2*p+1 tandis que X =cos(B)= (p+1) /(2*p).

Pour p=1, les trois sommets du triangle ABC sont alignés. Les valeurs entières des côtés sont donc obtenues pour p>1 

On observe que les longueurs du côté b opposé à l'angle B sont les carrés des entiers consécutifs 2,3,4,...,p. Le plus petit triangle a pour dimensions 6,4 et 5.

On peut obtenir une formule plus générale en posant X = p / q avec p et q entiers p<=q. Il en résulte a / c = (4*p² - q²) / (2*p*q) et b = a / 2*X = q². En prenant a = 4*p²-q², b = q² et c = 2*p*q avec q/2<p<q, on obtient le tableau ci-après  dans lequel les valeurs de a, b, c ont été divisées par leurs facteurs communs afin de faire apparaître les dimensions les plus réduites possibles des triangles.

2 er cas : k=3

Dans ce cas la relation des sinus s'écrit  a / sin(3*B) = b / sin(B) = c / sin(4*B) . En posant une nouvelle fois X=cos(B), on obtient la relation a / (4*X² - 1) = b = c / [4*X*(2*X² - 1)]

Avec X = p/q nombre rationnel, on obtient les valeurs entières de a, b, c suivantes : a = q*(4*p² q²), b = q³ et c = 4*p*(2*p²-q²) avec les inégalités q² /2 < p² < q². D'où le tableau donnant les premières valeurs de a,b,c :

Le plus petit triangle a pour dimensions 10,8 et 3.

3 er cas : k quelconque

De manière générale, la relation des sinus donne les relations a / sin(k*B) = b / sin(B) = c / sin[(k+1)*B].

En développant sin(k*B) et sin[(k+1)*B] et en mettant sin(B) en facteur commun des deux expressions, on obtient deux polynômes de degrés respectifs k et k+1 en X = cos(B). Soient P_k(X) et P_k+1(X) les deux polynômes ainsi obtenus. Les relations ci-dessus deviennent a /P_k(X)  = b = c / P_k+1(X). En posant X = p/q p et q entiers tels que p<q, on obtient les valeurs entières de a et c à partir de P_k(p/q) et P_k+1(p/q) tandis que b prendra la forme q k.