On trace la parallèle BD passant par E qui coupe AC en G.

Le calcul de X va se faire en deux étapes : d'abord calcul de l'aire du quadrilatère DFEG puis calcul de l'aire du triangle AEG.

Les triangles CDF et CDB ont même hauteur issue de C. Leur surface est donc proportionnelle à la longueur de leur base DF et DB et l'on peut écrire : DF/DB = b/(a+b). Il en est de même des triangles CFB et CEB qui ont même hauteur issue de B et pour lesquels on a la relation CE/CF = (a+c)/a.

D'après le théorème de Thalès, GE/DF = CE/CF = (a+c)/a et comme le rapport des aires de deux triangles semblables est égal au carré du coefficient d'homothétie, on a les deux relations exprimant d'une part l'aire(CGE) = aire(CDF)* = b. et d'autre part l'aire (DFEG) = aire(CGE) ? aire (CDF) = b. -b = bc.(2a+c)/

Pour calculer l'aire du triangle AEG, on fait appel au ratio GE/DB qui est égal à GE/DF * DF/DB = (a+c).b/[a.(a+b)] et en utilisant les mêmes propriétés que précédemment on peut écrire que aire (AEG) / aire(ABD) = = (1)

Or aire (ABD) = aire(AEG) + aire(BEF) + aire((DFEG) = aire(AEG) + c + bc.(2a+c)/ (2)

Des deux identités (1) et (2), on déduit aire (AEG) = qui est définie si >bc.

Finalement X = aire(AEG) + aire(DFEG) = bc.(2a+b+c)/ qui est toujours définie quand >bc.

Les triplets d'entiers a,b,c distincts tels que X = 4abc obéissent à la relation bc.(2a+b+c)/ = 4abc 4a = 2a + b + c. En supposant par convention b>c, on constate que quel que soit a>1, b = a+1 et c = a ?1 sont des solutions de cette équation. Tous les triplets d'entiers consécutifs avec le terme médian pour représenter l'aire du triangle opposé au quadrilatère de surface X répondent donc à la question. Il y a d'autres solutions telles que a = 28, b = 390 et c=2 .