La figure établie ci-après avec neuf points M n fait apparaître trois alignements de points : M 1, M 4 et M 7 puis M 2 , M 5 et M 8 et enfin M 3 , M 6 et M 9

.

Démontrons ces propriétés : M 2 et M 5 étant les milieux respectifs de AM 1 et AM 4 , on a l'équation vectorielle M 1M 4 = 2*M 2M 5 . De la même manière, on peut écrire M 4M 7 = 2*M 5M 8 , M 1M 7 = 2*M 2M 8,

M 2M 5 = 2*M 3M 6 et M 3M 6 = 2*M 4M 7. Il en résulte que M 1M 4 = 2*M 2M 5 = 4*M 3M 6 = 8*M 4M 7 è les trois points M 1,M 4,et M 7 sont bien alignés et M 4M 7 = M 1M 7 /8. Il en est de même pour les points M 2,M 5,et M 8 qui sont caractérisés par la même équation vectorielle M 5M 8 = M 2M 8/8. Même résultat pour les points M 3,M 6,et M 9 caractérisés par l'équation vectorielle M 6M 9 = M 3M 9/8.

En poursuivant le raisonnement avec les points M 7,M 10,?M 3*k+1?on en déduit la relation M 1M 3*k+1 = [1 + 1/8 + (1/8) 2 + (1/8) 3 +?.+(1/8) k-1]*M 1M 4. Lorsque k tend vers l'infini, la série å (1/8) k converge ver 8/7. La position limite de M 3*k+1 que nous désignerons par U est donc définie par l'équation vectorielle M 1U = 8*M 1M 4/7. De la même manière en appelant V et W les points limites des points M 3*k+2 et M 3*k, on peut écrire M 2V = 8*M 2M 5/7 et M 3W = 8*M 3M 6/7.

Supposons que le triangle ABC est placé dans un repère Oxy. M 2 étant milieu de AM 1, on a l'équation vectorielle OM 2 = (OA + OM 1)/2.De même M 3 et M 4 étant les milieux de BM 2 et de CM 3, on a OM 3 = (OB + OM 2)/2 = OA/4 + OB/2 + OM 1/ 4 puis OM 4 = (OC + OM 3)/2 = OA/ 8+ OB/4 + OC/2+ OM 1/ 8.

Dès lors, M 1M 4 = OM 4 ? OM 1 = OA/ 8+ OB/4 + OC/2 ?7*OM 1/ 8 = 7*M 1U/8 = 7*OU/8 ? 7*OM 1/ 8.

Il en résulte que 7*OU = OA + 2*OB + 4*OC. En d'autres termes, U est le barycentre des sommets du triangle avec les pondérations 1/7, 2/7 et 4/7. De la même manière, on peut dire que le point V est le barycentre des sommets du triangle avec les pondérations 4/7, 1/7 et 2/7 tandis que W est le barycentre avec les pondérations 2/7, 4/7 et 1/7.

On reconnaît dans le triangle UVW un triangle bien connu qui est obtenu en menant des sommets A,B et C les droites qui coupent les segments opposés BC,AC et AB aux point I,J et K tels que BI=2*BC/3, CJ=2*CA/3 et AK=2*AB/3. L'aire du triangle UVW est le septième de l'aire du triangle ABC.

Si le point de départ est le point U, le milieu de AU est le point V. En effet le coordonnées barycentriques de V sont bien égales à 1/2*(1 ;0 ;0) + 1/2*(1/7 ;2/7 ;4/7) = (4/7 ;1/7 ;2/7). Puis le milieu de BV est W dont les coordonnées barycentriques sont bien égales à 1/2*(0 ;1 ;0) +1/2*(4/7 ;1/7 ;2/7) = (2/7 ;4/7 ;1/7). Au troisième tour on retrouve U et le processus devient répétitif.