2 amis 

Considérons le collier AB fait de 2*n perles avec 2*a perles de la couleur noire (1) et 2*b perles de la couleur blanche (2) telles que a+b = n. Toutes les perles peuvent être numérotées 1,2,...,2*n.

Il y a n+1 séquences de n perles : = [1,2,3,..n], = [2,3,...,n+1],.. = [n+1, n+2,...., 2*n]. Appelons les nombres respectifs de perles de couleurs 1 et 2 dans la séquence . Si l'on exclut le cas trivial ou le collier est fait de perles dont les couleurs sont alternées (1,2,1,2,...), on peut dire que parmi les n+1 séquences, il y a au moins une séquence telle que et une séquence telle que . Par ailleurs, quand on passe de la séquence i à la séquence i+1, le nombre de perles de couleur 1 peut s'accroître d'une unité ou rester stable ou décroître d'une unité. Même remarque s'agissant des perles de couleur 2. On est donc sûr qu'entre et , il y aura au moins une séquence telle que = a et = b. Deux sections en deux points C et D garantissent un nombre égal de perles de couleurs 1 et 2 pour chacun des deux amis. L'un récupérera les segments AC et DB tandis que l'autre prendra CD.

3 amis 

Cette fois-ci, on a un collier AB fait de 3*n perles. Le raisonnement est le même que ci-dessus : deux sections aux points C et D permettent de donner au 1 er ami les morceaux AC et DB faits de a perles de couleur 1 et b perles de couleur avec a+b=n. Avec le collier résultant CD qui comporte 2*n perles, on opère comme précédemment avec deux sections E et F : les morceaux CE et FD vont au 2 ème ami et le morceau EF échoit au 3 ème. Au total, il y a quatre sections.

p amis 

La généralisation donne 2*(p-1) sections