2) En prenant les logarithmes décimaux des deux membres de l'équation >0 l'un et l'autre, on obtient . Comme y>0, il en résulte . On vérifie aisément que les entiers , et z=10 satisfont l'équation précédente. En effet Logx=10 000 000 000 = et Logz = 1 = . = et xLogz = x = .

3) Il est bien connu que est égal à 2. En effet si on considère la suite avec , tous les termes de la suite sont strictement croissants et elle est bornée par 2 car quelque que soit n est borné par le dernier exposant du haut étant 2> . On voit que tous les exposants calculés de haut en bas donnent en cascade le nombre 2. La limite L de est alors donnée par la formule 2 Log L = L.Log2. D'où L=2 et A=L=2.

D'autre part on sait que .Donc . Il en résulte que . Comme , on a = et .

4) On a de façon évidente 2004! > 2005. Par conséquent (2004!)! > 2005! et en répétant les factorielles encore 2003 fois on obtient l'inégalité qui répond à la question .

5) On considère la fonction f(x) = (N-x)Log(N+x) définie pour tout x sur [0,1] avec N=2005. Cette fonction est dérivable sur [0,1] et l'on a f '(x)= - Log(N+x) + (N-x)/(N+x).Comme ? Log(N+x) <-1 quel que soit x,

on a f '(x) < 0 et la fonction f est strictement décroissante entre 0 et 1. Il en résulte que f(0) > f(1). Or f(0) = 2005Log(2005) et f(1) = 2004Log(2006). D'où .