Les termes du membre de gauche sont : 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, 18, 19, 21, 24, 25, 28, 30, 31 tandis que ceux de droite sont : 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, 17, 20, 22, 23, 26, 27, 29, 32.

 

 

L'algorithme pour déterminer chacun des deux sous-ensembles est le suivant :

- on part des deux sous-ensembles {1,4} et {2,3}
  - la partition des entiers de 1 à 8 est définie par ( +4) et = ( +4) sachant que +4 signifie qu'on ajoute 4 à chacun des termes de ,
  - de manière générale, on a la formule de récurrence et

La vérification des égalités pour les différentes puissances d'ordre 1,2,3,4 est facile à faire pour les entiers de 1 à 32 :

   - la somme des carrés est aisée car par construction même des sous-ensembles et , à tout sous-ensemble de 4 termes du membre de gauche : k ,k+3,k+5,k+6 on peut faire correspondre 4 termes du membre de droite de la forme :k+1,k+2,k+4,k+7 et l'on a : k, . Les termes en disparaissent, les termes en k également en raison de l'égalité 3 + 5 + 6 = 1 + 2+ 4 + 7 et les termes constants également.

   - la somme des cubes obéit au même principe mais cette fois-ci, il faut considérer 8 termes du membre de gauche et 8 termes du membre de droite, respectivement de la forme : k, k+3, k+5, k+6, k+9, k+11, k+12, k+15 et

k+1, k+1, k+4, k+7, k+8, k+10, k+13, k+14. En élevant au cube chaque membre, les termes en disparaissent, les termes en et en k également en raison des égalités précédemment constatées sur la somme des termes eux-mêmes et la somme de leurs carrés.
  - la même démarche est retenue pour le calcul de la somme des puissances d'ordre 4 qui met en jeu 16 termes de part et d'autre au lieu de 2 pour les nombres eux-mêmes, 4 pour les carrés et 8 pour les cubes.

Il est possible de généraliser la vérification avec les sommes de puissance d'ordre n grâce à un raisonnement par récurrence.