Soit k+1 le nombre de formations carrées dont les dimensions sont respectivement n, n+1, n+2,....,n+k. L'effectif global des enfants rassemblés est .

 

En réduisant de 4 rangées et de 4 colonnes chacune de ces k+1 formations, le nombre T d'enfants transférés dans une (k+2)ème formation s'élève à :

 

 

D'où T = 4(k+1)(2n+k-4)

 

La nouvelle formation peut avoir deux dimensions : n-5 ou n+k-3

 

1 er cas :

 

On obtient l'équation du second degré en n : dont le discriminant D vaut 20(k+1)(k+2). Les solutions entières en n sont obtenues si et seulement si D est un carré.

 

Avec k < 100, D est un carré si k=3 ou k=79. Pour k=3, il en résulte n=41 et il y a N= 7230 enfants répartis initialement en 4 carrés de dimensions 41,41,43,44 puis en 5 carrés de dimensions 36,37,38,39,40, le premier carré de côté 36 correspondant aux enfants transférés. Pour k=79, il en résulte n=785.L'effectif correspondant se chiffre par millions. Cette solution est donc exclue.

 

2 ème cas  avec k>3.

 

On obtient l'équation du second degré en n  dont le discriminant D vaut 12(k+1)(k+2). D est un carré si k=3 à exclure et k=48 car l'effectif correspondant est trop important.

 

La solution unique est donc N= 7230 enfants.

 

Il existe une infinité de suites d'entiers naturels consécutifs de 2k + 1 termes tels que la somme des carrés des k+1 premiers termes soit égale à la somme des carrés de k suivants.

 

C'est ainsi que :

 

 

 

etc?

 

On démontre aisément que s'il y a k termes dans le membre de gauche, le k-ième terme vaut 2(k-1)k et le 1 er terme (k - 1)(2*k - 1) tandis que le 1 er terme du membre de droite vaut et le dernier terme vaut . En effet quel que soit k>1, variant de (k - 1)(2k - 1) à 2(k - 1)k est égal à variant de

 

Lorsque l'effectif est proche de 100000, on a donc les configurations correspondant à k=8 soit un effectif global de 94220 enfants.