A418. Diophante dans son pré carré | A4. Equations diophantiennes

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A418. Diophante dans son pré carré

A4. Equations diophantiennes

Diophante a acheté un pré carré ABCD qui a la particularité suivante : c'est le plus petit carré possible tel qu'il existe un point P à l'intérieur (bords exclus) situé à des distances entières des quatre sommets A,B,C,D.
Quelle est la dimension du carré et quelle sont les distances de P aux quatre sommets ?
Existe-t-il un carré dont la dimension est un nombre entier tel qu'il existe un point P interne au carré et situé à des distances entières des sommets ?

Source : Louis Pianaro dans la revue « Jouer Jeux mathématiques » - 1996

Solution

Question n°1

Soit PA=a, PB=b, PC=c et PD=d. On a la relation bien connue a² + c² = b² + d².

En supposant que a est le plus petit terme, on pose b = a + x, c = a + y et d = a + z avec x, y, z >=0.

Il en résulte a = (y² -x² - z²)/2(x + z - y)

Pour y < 7, il n'y a pas de solution et la plus petite valeur de a = 2 est obtenue pour y =7 , x = 5 et z = 4

Dès lors a=2, b=7, c=9 et d=6.

Si l'on désigne par N le côté du carré, on calcule N en fonction de a, b, c et d.

Soit u = angle(PAB).

On a dans le triangle PAB la première relation :b² = a² + N² - 2aNcos(u).

et dans le triangle PAD la deuxième relation :d² = a² + N² - 2aNsin(u)

Comme ,on peut écrire l'identité suivante: