Soit le triangle OPQ dont les côtés OP, PQ et OQ sont respectivement égaux à n, n-1 et n+1

Soit OA = x 0 et AP = y 0 avec x et y entiers.

Soit CQ = u et OC = v avec u et v entiers tels que 0 u x et y v

Alors BP = v - y et BQ = x - u

Nous avons les identités suivantes :

De ces trois équations, on déduit une équation du second degré dont la variable u est fonction de x et de n :

On en déduit : u = et v =

Il apparaît que u = x/2 +2*x/n + peut être un nombre entier si et seulement si x=n y=0

Dès lors u = x/2 + 2 et v =

v est un entier si et seulement si est un entier.

On a donc à résoudre l'équation de Pell de la forme 3X² - 12 = Y² dont les solutions sont données par :

avec a=2, b=1, c=3 et d=2

On est donc en mesure de calculer les côtés des premiers triangles répondant aux critères demandés. La liste peut évidemment s'étendre à l'infini.

Tous les triangles ont non seulement coordonnées de sommets et longueurs des côtés qui sont des nombres entiers mais également leur aire.