A124. Un algorithme venu du froid

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A. Arithmétique et algèbre

A1. Pot pourri

A124. Un algorithme venu du froid

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A124. Un algorithme venu du froid

Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

Ce problème a été posé aux Olympiades de la zone baltique en 1990 :

On part de l'entier naturel N= 4 et on choisit l'une des trois règles suivantes pour déterminer un nouveau nombre entier naturel :

N est divisé par 2
N est multiplié par 10
N est multiplié par 10 et on ajoute 4 au produit

En d'autres termes il y a trois transformations possibles : N/2, 10N et 10N+4, la première ne pouvant être retenue que si N est pair.
On réitère le processus ad infinitum. Montrer que n'importe quel nombre entier peut être calculé avec cet algorithme.

Solution

Le tableau ci-après montre les étapes de l'algorithme pour créer la liste des nombres entiers naturels de 1 à 50 (repérés en bout de chaque ligne par la case jaune). Il apparaît que les nombres se terminant par 8 et 9 sont les plus « coriaces ».

On rappelle les règles de A :

N est divisé par 2
N est multiplié par 10
N est multiplié par 10 et on ajoute 4 au produit.

R=0

N = 10P P<N P est C et N est C d'après la règle (2).

R=1

N=10P+1 [d'après la règle (1)] 20P+2 est non C [d'après la règle (1)] 40P+4 est non C [d'après la règle (3)] 4P est non C. Or 4P < 10P +1P>4.D'où contradiction.

R=2

N=10P+2 [d'après la règle (1)] 20P+4 est non C [d'après la règle (3)] 2P est non C. Or 2P < 10P+2P>4.D'où contradiction.

R=3

N=10P+3 [d'après la règle (1)] 20P+6 est non C [d'après la règle (1)] 40P+12 est non C [d'après la règle (1)] 80P + 24 est non C [d'après la règle (3)] 8P+2 est non C. Or 8P+2 < 10P+3P>4.D'où contradiction.

R=4

N=10P+4 [d'après la règle (3)] P est non C. Or P<10P+4. D'où contradiction.

R=5

N=10P+5 [d'après la règle (1)] 20P+10 est non C [d'après la règle (2)] 2P+1 est non C. Or 2P+1<10P+5 ? D'où contradiction.

R=6

N=10P+6 [d'après la règle (1)] 20P+12 est non C [d'après la règle (1)] 40P+24 est non C [d'après la règle (3)] 4P+2 est non C. Or 4P+2 < 10P+6. D'où contradiction.

R=7

N=10P+7 [d'après la règle (1)] 20P+14 est non C [d'après la règle (3)] 2P+1 est non C. Or 2P+1 < 10P+7. D'où contradiction.

R=8

N=10P+8 [d'après la règle (1)] 20P+16 est non C [d'après la règle (1)] 40P+32 est non C [d'après la règle (1)] 80P+64 est non C [d'après la règle (3)] 8P+6 est non C. Or 8P+6 < 10P+8. D'où contradiction.

R=9

N=10P+9 [d'après la règle (1)] 20P+18 est non C [d'après la règle (1)] 40P+36 est non C [d'après la règle (1)] 80P+72 est non C [d'après la règle (1)] 160P+144 est non C [d'après la règle (3)] 16P+4 est non C. On ne peut pas conclure car 16P+4 est > 10P+9.

Il convient donc de poser P=5Q+i avec i=0,1,2,3,4
P=5Q N=50Q+9 [d'après la règle (1)] 100Q+18 est non C [d'après la règle (1)] 200Q + 36 est non C [d'après la règle (1)] 400Q+72 est non C [d'après la règle (1)] 800Q + 144 est non C [d'après la règle (3)]80Q+14 est non C [d'après la règle (3)] 8Q+1 est non C . Or 8Q+1 < 50Q+9.D'où contradiction.
P=5Q+1 N=50Q+19 [d'après la règle (1)] 100Q+38 est non C [d'après la règle (1)] 200Q + 76 est non C [d'après la règle (1)] 400Q+152 est non C [d'après la règle (1)] 800Q + 304 est non C [d'après la règle (3)]80Q+30 est non C [d'après la règle (2)] 8Q+3 est non C . Or 8Q+3 < 50Q+19.D'où contradiction.
P=5Q+2 N=50Q+29 [d'après la règle (1)] 100Q+58 est non C [d'après la règle (1)] 200Q + 116 est non C [d'après la règle (1)] 400Q+232 est non C [d'après la règle (1)] 800Q + 464 est non C [d'après la règle (3)]80Q+46 est non C [d'après la règle (1)] 40Q+23 est non C . Or 40Q+23 < 50Q+29.D'où contradiction.
P=5Q+3 N=50Q+39 [d'après la règle (1)] 100Q+78 est non C [d'après la règle (1)] 200Q + 156 est non C [d'après la règle (1)] 400Q+312 est non C [d'après la règle (1)] 800Q + 624 est non C [d'après la règle (3)] 80Q+62 est non C [d'après la règle (1)] 40Q+31 est non C . Or 40Q+31 < 50Q+39.D'où contradiction.
P=5Q+4 N=50Q+49 [d'après la règle (1)] 100Q+98 est non C [d'après la règle (1)] 200Q + 196 est non C [d'après la règle (1)] 400Q+392 est non C [d'après la règle (1)] 800Q + 784 est non C [d'après la règle (3)]80Q+78 est non C [d'après la règle (1)] 40Q+39 est non C . Or 40Q+39 < 50Q+49.D'où contradiction.

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